Die Analyse des Zufalls   By: H. E. (Heinrich Emil) Timerding

First Page:

2" = m0 2w(1 􀀀 w)(1 􀀀 ) : Näherungsformeln. 173 Es ist aber h0 eine sehr große,  eine sehr kleine Zahl. Zu berechenbaren Werten gelangen wir, wenn wir x = m0 pn0 = x pn0 ; h = pn0 m0 h0 einführen. Dann wird die Verteilungsfunktion (x) = h p e􀀀h2x2 ; genau wie früher, und angenähert h2 = 1 2w(1 􀀀 w) . Dies war zu erwarten, denn wir sahen schon, daß, wenn die Anzahl der herausgegriffenen Kugeln klein ist im Verhältnis zu der Anzahl der in der Urne enthaltenen Kugeln, der Fall genau so liegt, als ob die Kugeln einzeln gezogen und nach der Ziehung jedesmal zurückgelegt würden. In dem anderen Falle, wo weder w noch  nahe an 0 oder 1 liegen, können wir in den beiden Faktoren des Nenners  gegen das erste Glied vernachlässigen und erhalten dann sofort d ln () d = 􀀀 m0 w(1 􀀀 w)(1 􀀀 ) und daraus durch Integration () = ce􀀀h2 02 ; d. h. dieselbe durch die Ga u ßsche Funktion gegebene typische Verteilung wie vorhin und wie in dem Falle, wo die Kugeln einzeln gezogen und nach der Ziehung jedesmal zurückgelegt werden. Nur hat die frühere Größe r n 2w(1 􀀀 w) , in welcher wir m0 Achtes Kapitel. 174 statt n geschrieben zu denken haben, sich jetzt verwandelt in h0 = s m0 2w(1 􀀀 w)(1 􀀀 ) : Es tritt also noch ein Faktor hinzu, der am kleinsten ist, wenn die herausgegriffenen Kugeln die Hälfte von den in der Urne enthaltenen Kugeln betragen, und um so größer wird, je mehr sich die Anzahl der herausgegriffenen Kugeln von diesem Wert entfernt. Damit die Funktionswerte in den Grenzen der Berechenbarkeit liegen, muß h, d. h. auch x : pn0 einen berechenbaren Wert haben und x : n0 daher einen sehr kleinen Wert. Das Mischungsverhältnis p0 n0 = w x n0 des herausgegriffenen Kugelhaufens weicht also wenig von dem Mischungsverhältnis w der Kugeln in der Urne ab. Aus allen bisherigen Betrachtungen hat sich uns für den Fall, daß sich die Verteilungsreihe einer kontinuierlichen Verteilungsfunktion nähert, immer eine bestimmte Funktion, die Ga u ßsche Funktion, ergeben. Diese Funktion ist ganz besonderer Art, unter anderem ist sie wesentlich symmetrisch. Es gibt aber eine Erweiterung des Urnenschemas, durch die eine wesentlich unsymmetrische Verteilung entspringt und die sich als von großer Bedeutung erwiesen hat, weil sie den Weg zeigt, wie man zu viel allgemeineren Verteilungsfunktionen gelangen kann. Diese Verallgemeinerung des Urnenschemas besteht darin, daß wir uns nicht bloß eine, sondern eine ganze Anzahl von Urnen denken, und zunächst durch das Los bestimmen, aus welcher Urne wir ziehen wollen. Für die Anzahl Male, die wir auf diese Näherungsformeln. 175 Weise die ite Urne treffen, ergibt sich hierbei eine bestimmte relative Häufigkeit wi derart, daß, wenn wir die Summation über alle Urnen ausdehnen, Pwi = 1 wird. Denken wir uns nun die Ziehungen an der iten Urne vollzogen, so möge uiz die relative Häufigkeit der Fälle bezeichnen, wo das Verhältnis der Anzahl der gezogenen weißen Kugeln zu der Anzahl der überhaupt gezogenen Kugeln gleich z ist. Wir haben dann eine typische stationäre Reihe vor uns und es gelten die früher abgeleiteten Beziehungen Pz uiz = 1; Pz uizz = ui; Pz uiz(z 􀀀 ui)2 = ui(1 􀀀 ui) n : Betrachten wir nun aber die Ziehungen so, daß wir alle Urnen berücksichtigen, daß also von vornherein nicht entschieden ist, aus welcher Urne wir ziehen, so müssen wir das zusammengesetzte Ereignis ins Auge fassen, dessen erster Teil die Bestimmung der Urne ist, aus welcher gezogen werden soll, und dessen zweiter Teil in den Ziehungen aus der Urne selbst besteht... Continue reading book >>