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Die Analyse des Zufalls By: H. E. (Heinrich Emil) Timerding |
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3
3"2 : : : :
Dieser Wert würde mit
sehr groß werden, wenn
" nicht sehr
groß auch gegen
wäre. Nun wird aber schon das Verhältnis
des dritten zum zweiten Gliede dem absoluten Werte nach
=
2
3 "
:
Dies ist ein sehr kleiner Wert. Wir können uns also auf die zwei
ersten Glieder beschränken und finden
ln () = ln c 2
2"
woraus folgt
() = ce 2
2"
oder
() = ceh2
0 2 (C)
für
h2
0 =
2"
=
m0
2w(1 w)(1 )
:
Näherungsformeln. 173
Es ist aber h0 eine sehr große, eine sehr kleine Zahl. Zu
berechenbaren Werten gelangen wir, wenn wir
x =
m0
pn0
=
x
pn0
; h =
pn0
m0
h0
einführen. Dann wird die Verteilungsfunktion
(x) =
h
p
eh2x2
;
genau wie früher, und angenähert h2 =
1
2w(1 w)
. Dies war
zu erwarten, denn wir sahen schon, daß, wenn die Anzahl der
herausgegriffenen Kugeln klein ist im Verhältnis zu der Anzahl
der in der Urne enthaltenen Kugeln, der Fall genau so liegt, als
ob die Kugeln einzeln gezogen und nach der Ziehung jedesmal
zurückgelegt würden.
In dem anderen Falle, wo weder w noch nahe an 0 oder 1
liegen, können wir in den beiden Faktoren des Nenners gegen
das erste Glied vernachlässigen und erhalten dann sofort
d ln ()
d
=
m0
w(1 w)(1 )
und daraus durch Integration
() = ceh2
02
;
d. h. dieselbe durch die Ga u ßsche Funktion gegebene typische
Verteilung wie vorhin und wie in dem Falle, wo die Kugeln einzeln
gezogen und nach der Ziehung jedesmal zurückgelegt werden.
Nur hat die frühere Größe r n
2w(1 w)
, in welcher wir m0
Achtes Kapitel. 174
statt n geschrieben zu denken haben, sich jetzt verwandelt in
h0 = s m0
2w(1 w)(1 )
:
Es tritt also noch ein Faktor hinzu, der am kleinsten ist, wenn
die herausgegriffenen Kugeln die Hälfte von den in der Urne
enthaltenen Kugeln betragen, und um so größer wird, je mehr
sich die Anzahl der herausgegriffenen Kugeln von diesem Wert
entfernt. Damit die Funktionswerte in den Grenzen der Berechenbarkeit
liegen, muß h, d. h. auch x : pn0 einen berechenbaren
Wert haben und x : n0 daher einen sehr kleinen Wert. Das
Mischungsverhältnis p0
n0
= w
x
n0
des herausgegriffenen Kugelhaufens
weicht also wenig von dem Mischungsverhältnis w der
Kugeln in der Urne ab.
Aus allen bisherigen Betrachtungen hat sich uns für den
Fall, daß sich die Verteilungsreihe einer kontinuierlichen Verteilungsfunktion
nähert, immer eine bestimmte Funktion, die
Ga u ßsche Funktion, ergeben. Diese Funktion ist ganz besonderer
Art, unter anderem ist sie wesentlich symmetrisch.
Es gibt aber eine Erweiterung des Urnenschemas, durch die
eine wesentlich unsymmetrische Verteilung entspringt und die
sich als von großer Bedeutung erwiesen hat, weil sie den Weg
zeigt, wie man zu viel allgemeineren Verteilungsfunktionen gelangen
kann.
Diese Verallgemeinerung des Urnenschemas besteht darin,
daß wir uns nicht bloß eine, sondern eine ganze Anzahl von Urnen
denken, und zunächst durch das Los bestimmen, aus welcher
Urne wir ziehen wollen. Für die Anzahl Male, die wir auf diese
Näherungsformeln. 175
Weise die ite Urne treffen, ergibt sich hierbei eine bestimmte relative
Häufigkeit wi derart, daß, wenn wir die Summation über
alle Urnen ausdehnen, Pwi = 1
wird.
Denken wir uns nun die Ziehungen an der iten Urne vollzogen,
so möge uiz die relative Häufigkeit der Fälle bezeichnen,
wo das Verhältnis der Anzahl der gezogenen weißen Kugeln zu
der Anzahl der überhaupt gezogenen Kugeln gleich z ist. Wir
haben dann eine typische stationäre Reihe vor uns und es gelten
die früher abgeleiteten Beziehungen
Pz
uiz = 1; Pz
uizz = ui; Pz
uiz(z ui)2 =
ui(1 ui)
n
:
Betrachten wir nun aber die Ziehungen so, daß wir alle Urnen
berücksichtigen, daß also von vornherein nicht entschieden
ist, aus welcher Urne wir ziehen, so müssen wir das zusammengesetzte
Ereignis ins Auge fassen, dessen erster Teil die Bestimmung
der Urne ist, aus welcher gezogen werden soll, und dessen
zweiter Teil in den Ziehungen aus der Urne selbst besteht... Continue reading book >>
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