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DIE HAUPTSÄCHLICHSTEN

THEORIEN DER GEOMETRIE

IN IHRER FRÜHEREN

UND

HEUTIGEN ENTWICKELUNG.

HISTORISCHE MONOGRAPHIE

VON

DR. GINO LORIA,

PROFESSOR DER HÖHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITÄT ZU GENUA.

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UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSÄTZE UND VERBESSERUNGEN SEITENS DES
VERFASSERS

INS DEUTSCHE ÜBERTRAGEN

VON

FRITZ SCHÜTTE.

MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM.

LEIPZIG,

VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1888.

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Druck von B. G. Teubner in Dresden.

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Seiner teueren Mutter

als schwaches Unterpfand inniger Liebe

widmet diese Arbeit

der Verfasser.

{III}



       *       *       *       *       *

Vorwort.

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Diese deutsche Übersetzung der im vergangenen Jahre in den _Memorie della
Reale Accademia delle Scienze di Torino_ (Ser. II, Bd. 38) erschienenen
Monographie des Herrn Gino Loria: _Il passato e il presente delle
principali teorie geometriche_, welche mein Schüler Herr Fritz Schütte
angefertigt hat, begleite ich gern mit einem empfehlenden Vorworte, nachdem
ich sie mit der Originalschrift und den handschriftlichen Zusätzen und
Verbesserungen des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre Richtigkeit
verglichen habe.

Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns mehr
vorwärts bringt, als es früher in einem Jahrhundert geschah, welche uns zu
ungeahnten allgemeinen Anschauungen geführt hat, zu besitzen, ist der
Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich
schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fünfzig
Jahren, wo der _Aperçu historique_ von Chasles erschien.

Herr Loria will seine »Chronik«, wie er seine Schrift in der Einleitung
nennt, nur als eine Vorarbeit angesehen haben, welche zur Inangriffnahme
des großen Werkes der Abfassung einer Geschichte der modernen Geometrie
anspornen und diesem Werke dienen soll. Der Umfang, den er zunächst seiner
Arbeit gegeben hat, bringt es, wie er selbst mehrfach bemerkt, freilich mit
sich, daß die Darstellung bisweilen auf eine bloße Aufzählung von Namen und
Schriften hinausläuft. Aber auch in diesem engeren Rahmen ist es, meine
ich, dem {IV} Verfasser gelungen, dem Leser, als welchen ich mir in erster
Linie einen Studierenden vorstelle, der schon etwas über die Anfänge hinaus
ist, eine anschauliche Übersicht der hauptsächlichsten
Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit vorzuführen; für alle
Geometer aber werden die reichhaltigen Litteraturnachweise von großem Werte
sein. Etwaige Lücken in denselben wird jeder, der unsere fast unübersehbare
und den wenigsten vollständig zugängliche mathematische Litteratur kennt,
dem Verfasser nicht anrechnen, und jede Mitteilung einer wesentlichen
Verbesserung oder Ergänzung wird er gewiß gern entgegennehmen, um seine
Schrift noch wertvoller zu machen, falls ihr eine neue Auflage beschieden
würde.

Die Veränderungen, welche diese Übersetzung im Vergleich mit dem
italienischen Originale aufweist, bestehen, außer stark vermehrten
Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der
Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die
Gestalt der Kurven und der Oberflächen und die abzählende Geometrie
bezüglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen Abschnitte.

  Münster  i. W., Ende Mai 1888.

  R. STURM.

{V}



       *       *       *       *       *

Inhaltsverzeichnis.

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                                                                      Seite

  Einleitung                                                              1

     I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts                  3

    II. Theorie der ebenen Kurven                                        21

   III. Theorie der Oberflächen                                          31

    IV. Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen.
        Abzählende Geometrie                                             60

     V. Theorie der Kurven doppelter Krümmung                            71

    VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen                   80

   VII. Geometrie der Geraden                                            98

  VIII. Nicht-Euklidische Geometrie                                     106

    IX. Geometrie von n Dimensionen                                     115

  Schluss                                                               124

  Abkürzungen für die häufig erwähnten Zeitschriften                    130

  Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist 132

{1}



       *       *       *       *       *

Einleitung.

------



    »Après six mille années d'observations l'esprit humain n'est pas
    épuisé; il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut
    trouver à l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes à ses
    connaissances et à ses inventions.« -- Bossuet.

Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der Mathematik
im besonderen[1] sind in diesen letzten Zeiten so beträchtlich gewesen,
fortwährend folgen weitere nach, so schnell und unaufhaltsam, daß sich
lebhaft das Bedürfnis fühlen macht, einen Rückblick auf den schon gemachten
Weg zu werfen, welcher den Anfängern ein leichteres Eindringen in die
Geheimnisse derselben und den schon Vorgeschrittenen ein sichereres Urteil
gestattet, welches die Probleme sind, deren Lösung am dringendsten ist.

Der Wunsch, diesem Bedürfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie
anlangt, d. h. soweit es den höheren Teil {2} unserer positiven Kenntnis
betrifft -- da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la géométrie nous
surpasse -- ist es, der mich veranlaßt, vorliegende Abhandlung zu
schreiben.

Möge dieser unvollkommene Abriß die Veranlassung sein zu einer Schrift, die
der Erhabenheit ihres Zieles würdig ist; möge diese dürftige Chronik der
Vorläufer sein einer »Geschichte der Geometrie in unserem Jahrhundert«. {3}



       *       *       *       *       *

I.

Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts.

------



»Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander
verknüpft, daß man vergebens versuchen würde, irgend einen Zweig der
Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick
auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen.«[2] Wenn das im
allgemeinen wahr ist, so wird es doppelt der Fall sein »bei einer
Wissenschaft, die so konservativ ist, wie die Mathematik, welche das Werk
der vorhergehenden Periode nicht zerstört, um an dessen Stelle neue Bauten
zu errichten«.[3] Daher ist es unerläßlich, daß ich, bevor ich an das
eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor ich über die
moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die Geometrie zu
dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, ihre Entwickelung
eingehender zu verfolgen.

Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist ein
fast unausführbares Unternehmen. Die täglichen Erfahrungen jedes denkenden
Menschen führen auf eine so natürliche Weise zur Vorstellung der
einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer gegenseitigen
Beziehungen, daß man vergebens versuchen würde, den Namen desjenigen zu
nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, zu welcher Zeit
sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man über die ersten
Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich {4} vornimmt, sie
festzustellen, den umhüllt, wenn nicht völlige Finsternis, so doch nur ein
wenig Dämmerlicht, welches ihm nur gestattet, die Umrisse bedeutenderer
Bruchstücke, welche sich den Unbilden der Zeit entzogen haben, zu erkennen.
So kann ein solcher feststellen, daß die ältesten geometrischen Studien von
den Ägyptern gemacht sind, und kann die Erzählung Herodots wiederholen,
nach welcher diesem Volke ein sehr wirksamer Antrieb, sich mit Geometrie zu
befassen, durch die periodischen Überschwemmungen des Nils gegeben wurde,
welche, indem sie die Grenzen zwischen den kleinen Besitzungen, in die
Ägypten unter seine Einwohner verteilt war, verwischten, sie nötigten,
dieselben jedes Jahr wieder herzustellen.[4] Die Haltbarkeit dieser
Hypothese, um die Thatsache zu erklären, daß in Ägypten die Wissenschaft,
von der wir handeln, eifrig betrieben sei, wird durch die praktische Natur
der Gegenstände bewiesen, welche dort eingehender behandelt wurden:
specielle Konstruktionen, Messungen von Längen, Flächeninhalten, Volumen
u. s. f.[5]

Indem die Kenntnisse der Ägypter nach Griechenland übergingen, erhielten
sie durch Thales (640-540)[6] und die Anhänger der ionischen Schule, welche
er gründete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der That der
erste, der sich damit beschäftigt hat, die von den Ägyptern entdeckten
Sätze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich die Geometrie
unter seinen Händen noch nicht zur wahren Wissenschaft; diese Würde
erlangte sie erst {5} durch die Untersuchungen des Pythagoras (nach einigen
569-470, 580-500 nach anderen) und seiner Schüler. Unglücklicher Weise aber
bestand eine der Regeln, welche die Pythagoräer strenge beobachten mußten,
darin, daß sie die Lehren, welche der Meister vortrug, geheim halten
mußten; daher kam es, dass der geometrische Teil derselben allen, die nicht
dieser Schule angehörten, unbekannt blieb. Aber nachdem das Haupt gestorben
war, da suchten seine Anhänger, als sie bei den inneren Kämpfen, welche die
Republiken Grossgriechenlands zerrissen, besiegt worden waren, Zuflucht in
Athen und offenbarten dort, von der Not getrieben, die Geheimnisse, welche
sie bis dahin so strenge verwahrt hatten. Und der wohlthätige Einfluß einer
grösseren Verbreitung dessen, was die Pythagoräer von der Mathematik
wußten, ist durch die wichtigen Forschungen offenbar geworden, welche in
der Folgezeit die griechischen Gelehrten in der Periode, welche zwischen
Pythagoras und Plato (429-348) liegt, gemacht haben. Sie können in drei
Kategorien geteilt werden, benannt nach den berühmten Problemen: der
Dreiteilung des Winkels, der Verdoppelung des Würfels, der Quadratur des
Kreises, und führten zur Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der
ebenen Geometrie.

Plato verdanken wir den ersten Anstoß zum methodischen Studium der
Stereometrie, und das ist nicht das Einzige, wofür der göttliche Philosoph
auf den Dank der Geometer Anspruch erheben könnte; denn ihm ist auch die
analytische Methode zuzuschreiben, deren Macht allen bekannt ist, und
seiner Schule (Akademie) die Lehre von den Kegelschnitten und, was nicht
weniger wichtig ist, die von den geometrischen Örtern.

Aus diesen gedrängten Angaben[7] wird man leicht entnehmen können, daß die
Bemühungen der angeführten Geometer zu einer Fülle von Eigenschaften der
Figuren und zu Methoden, sie zu erklären, geführt und die Elemente für eine
methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet hatten. {6} Daher dauerte
es nicht lange, daß vollständige Zusammenstellungen dessen, was entdeckt
war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die Existenz; nur eine einzige
ist uns vollständig erhalten worden, _die Elemente_ des Euklides, und das
glänzende Licht, welches von ihnen ausgeht, führt uns zu der Vermutung, daß
alle die anderen Zusammenstellungen durch die Vergleichung mit ihnen
verdunkelt sind.

Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig angesehen
wird, »von dem man für die Entwickelung der Jugend diejenigen Resultate
erhoffen kann, mit Rücksicht auf die bei allen zivilisierten Nationen der
Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung in der Erziehung
der Jugend inne hat«,[8] nimmt die wahre Wissenschaft der Geometrie ihren
Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der großartige Bau der
griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel sich die anderen
Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von Archimedes (287-212),
Eratosthenes (276-194) und Apollonius (ca. 200 v. Ch.) befinden.[9]

Diese berühmten Gelehrten bezeichnen den Höhepunkt der griechischen
Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, trotz
einiger wichtiger Untersuchungen eines Hipparch (161-126) und eines
Ptolomaeus (125 bis ungefähr 200), trotz der Arbeit eines genialen
Kommentators, wie Pappus war (derselbe lebte gegen Ende des {7} dritten
Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), kommen wir nach und nach zu einer
Periode völliger Unthätigkeit auf dem Gebiete der Geometrie.

Die Römer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes
Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche, in
welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren
Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit zu
erreichen suchten, die für die Bedürfnisse des täglichen Lebens
ausreicht.[10]

{8}

Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer längeren
Erörterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze
Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem
man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt. Man
kann nur erwähnen, daß die vielfachen in dieser Zeit errichteten heiligen
Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines großen Dichters so zahlreich und
kühn waren, weil sie die einzigen der menschlichen Intelligenz damals
erlaubten Äußerungen darstellen, Kunde davon geben, daß derjenige Teil
unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister unentbehrlich ist, auch in
dieser Zeit im allgemeinen bekannt war.

Diese für unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet ansehen
mit Leonardo Fibonacci (etwa 1180-1250); erst als von diesem
ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa übergeführt worden war,
und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einfluß ausübten, da hatte diese
Periode der wissenschaftlichen Unthätigkeit ein Ende, und es beginnt eine
neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern müssen, da in ihr
unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte
diese Periode, wenn sie auch von großer Bedeutung für die analytischen
Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen.
Cardano (1501-1576), Scipio Ferro (?-1525), Tartaglia (1500-1559), Ludovico
Ferrari (1522-1565) und andere weniger bedeutende, die dieser Periode
angehören, haben den Ruhm, in unserem Lande die Entwickelung eines der
wichtigeren Teile der Analysis, nämlich der Theorie der Gleichungen,
bewirkt zu haben, sowie auch die Vervollkommnung einiger der schwierigsten
Teile derselben gefördert zu haben, dank den öffentlichen
wissenschaftlichen Herausforderungen, welche eine charakteristische
Eigentümlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen überlieferten {9} sie die
Geometrie ihren Nachkommen fast in demselben Zustande, in welchem sie
dieselbe von den Griechen und den Arabern erhalten hatten.[11]

Nach dem Tode dieser tapferen Kämpen ging der Primat in der Mathematik über
die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines Vieta
(1540-1603) und eines Fermat (1590-1663) übernommen. Durch sie bereicherte
sich die Geometrie mit Lösungen, die man vorher vergebens gesucht hatte.
Auch wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust man beklagt hatte,
wieder hergestellt.

Nicht viel später vermehrten Pascal (1623-1662) und Desargues (1593-1662)
das Erbteil der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen
Methoden und neuen Sätzen[12]. Aber die von ihnen ausgesprochenen Ideen
blieben {10} viele Jahre hindurch unfruchtbar, weil sie von dem
analytischen Geiste, dessen überwiegender Einfluß sich schon geltend
gemacht hatte, unterdrückt wurden.

Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch nicht ein
solches, daß es die Geometer die Probleme, deren Lösung man seit langer
Zeit und so lebhaft gewünscht hatte, vergessen ließ. Zwischen den
Bestrebungen dieser Zeit und den Wünschen der Gelehrten erhob sich in der
Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstoße
verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der
fähig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen
erleuchten sollte;[13] es entstand die analytische Geometrie (1637).

Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in
einigen praktischen Regeln der Maler, der ägyptischen Astronomen und der
römischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute
rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon die
Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit
geometrische Betrachtungen auf die Lösung der Gleichungen angewandt
hatten,[14] wenn auch schon Vieta die Abscissen gebraucht hatte, um
vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn schließlich
Nicolaus Oresme (ca. 1320-1382) und Fermat mehr oder weniger bewußt sich
der Koordinaten bedient haben; so scheint doch ganz unbestreitbar Descartes
(1596-1650) der erste zu sein, welcher in ihrer ganzen Ausdehnung die volle
Einsicht von der Möglichkeit, mit den algebraischen Rechnungszeichen die
nach irgend einem Gesetze aufgebauten Formen des Raumes darzustellen,
gehabt und der den ganzen Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus
ihrer {11} unerwarteten Vereinigung ziehen können, erkannt hat. Mit Recht
wird daher Cartesius' Namen immer mit der Entdeckung der analytischen
Geometrie verbunden bleiben.[15]

Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu lösen
gestattete, welche die Alten für unangreifbar hielten, ließ die
Zeitgenossen und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides,
Archimedes und Apollonius eröffneten Wege ganz vergessen, so dass wir eine
Zeitlang niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen Wahrheit zu
gelangen, sie eingeschlagen hätte.

Die kurz nach Descartes gleichzeitig von Leibniz (1646-1716) und Newton
(1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten gerade diese Richtung,
da sie bewirkten, daß man sich um diejenigen Probleme nicht bekümmerte,
deren Lösung nicht geeignet war, die Allmacht der Methoden, welche die Welt
diesen unsterblichen Geistern verdankt, hervortreten zu lassen, derartig,
daß man sagen kann, daß mit Ausnahme der _Philosophiae naturalis principia
mathematica_ (1686) von Newton und einiger Seiten von Huygens
(1629-1695),[16] von La Hire (1640-1718),[17] von Halley (1656-1742),[18]
Maclaurin (1698-1746),[19] Simpson (1687-1768),[20] von Stewart {12}
(1717-1785)[21] keine mathematische Produktion jener Zeit dem angehört, was
wir heute synthetische Geometrie zu nennen pflegen.[22]

Das hindert aber nicht, daß man diese Periode ohne Bedenken zu den
erfreulichsten für die Geometrie rechnen muß. In der That ist der größere
Teil der Probleme, welche von den Erfindern der Infinitesimalrechnung und
ihren unmittelbaren Schülern aufgestellt oder gelöst worden, unter die
wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da sie die interessantesten
und verstecktesten geometrischen und mechanischen Eigenschaften der Kurven
und Oberflächen berühren. Wir sehen daher, daß nicht allein die Zahl der
Kurven, welche einer näheren Betrachtung wert sind, sich ausserordentlich
vermehrt,[23] sondern auch -- was viel wichtiger ist --, daß die
Betrachtung von Singularitäten einer Kurve und anderer neuer mit dieser
verbundener Elemente eingefübrt wird, und daß infolge dessen
Untersuchungsgebiete sich eröffnen, deren Existenz man vorher gar nicht
geahnt hatte.

Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Auflösung einer so
großen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, trieb
natürlich die Geometer an, {13} eine ähnliche für das Studium der
Raumkurven und der Oberflächen zu schaffen. Daher entstand eine
Verallgemeinerung dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte,
und die Schooten (16..-1661)[24] in weiterer Ausführung veröffentlichte.
Diese Andeutungen ließen bei Parent (1666-1716) den Gedanken entstehen,
eine Oberfläche durch eine Gleichung zwischen den drei Koordinaten eines
ihrer Punkte darzustellen,[25] und bereiteten deshalb die analytische
Geometrie dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen
Teil der Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung
von Clairaut (1715-1765),[26] in welcher er im Alter von nur 16 Jahren mit
einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter Krümmung
bezüglichen Problemen löste, welche ihre entsprechenden in der Ebene
finden. Bald nach Clairaut schuf Euler (1707-1783) die analytische Theorie
der Krümmung der Oberflächen (1760)[27] und wandte die analytische Methode
an, um eine Klassifikation der Oberflächen zweiten Grades zu erhalten,
gegründet auf analoge Kriterien, wie diejenigen, welche den Alten dazu
gedient hatten, die Kurven zweiter Ordnung in Ellipsen, Parabeln und
Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich gehört der zweiten Hälfte des
vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk von Monge (1746-1818) an. Dieser
verschaffte der analytischen Geometrie zweier Koordinaten das Aussehen,
welches sie heute besitzt, indem er den methodischen Gebrauch der Gleichung
einer Geraden einführte. Er stellte den wichtigen Begriff von
Flächenfamilien auf und, indem er einige derselben behandelte
(Regelflächen, abwickelbare, Röhrenflächen, »Surfaces moulures«), entdeckte
er einen versteckten innigen Zusammenhang zwischen der Theorie der
Oberflächen und der Integration der partiellen Differentialgleichungen,
{14} was Licht in diese, wie in jene Lehre brachte und den Geometern neue
Gesichtspunkte enthüllte.[28]

Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und Italien
an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen haben, zuerst
unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England und Deutschland.
Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler aufgehört hatte »zu rechnen
und zu leben«,[29] stellte sich Frankreich wieder an die Spitze der
mathematischen Welt. Nicht allein mit Clairaut, d'Alembert (1716-1783),
Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833), Poisson
(1781-1840) und anderen gab es den Anstoß zum Studium der reinen und
angewandten Analysis, sondern es kehrten auch mit Monge, Carnot (1753-1823)
und Poncelet (1788-1867) die Gelehrten zum Studium der geometrischen Formen
zurück, in der Weise, wie es die Alten verstanden.

Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen Regeln
vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen hatten, um die
Bedürfnisse der Kunst zu befriedigen, und glücklich die Lücken ausfüllte,
die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen neuen Zweig der
Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem klassischen Buche,
welches er dieser Disziplin widmete,[30] und noch viel mehr mit seinen
unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule hielt,
brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte
Anschauung der Figur stützt, zu Ehren[31] und, indem {15} er die
Vorstellung der geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte,
machte er jene systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen
auf das Studium der ebenen Figuren möglich, welche Pappus schon erkannt
hatte.[32]

Der _Géométrie descriptive_ von Monge darf man die _Géométrie de position_
von Carnot[33] an die Seite stellen, weil diese, indem sie mit jener das
Ziel gemeinsam hat, der Geometrie diejenige Allgemeinheit zu verschaffen,
welche man ausschließlich der Analysis zugetraut hatte, nicht weniger als
jene dazu beitrug, den Aufschwung der reinen Geometrie vorzubereiten,
welchen man von dem Erscheinen des _Traité des propriétés projectives des
figures_ (1822)[34] datieren kann.

Um zu überzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es genügen, zu
erwähnen, daß gerade in dem {16} großen Werke von Poncelet die Macht der
Zentralprojektion als einer Methode der Demonstration und des Prinzips der
Kontinuität als eines Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt ist;[35]
daß das tiefere Studium der Homologie zweier ebener oder räumlicher Systeme
in demselben zum Begriffe der Korrespondenz zwischen zwei
Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier Dimensionen führte; daß die
Kenntnisse der Alten über die Polarität in Bezug auf einen Kegelschnitt und
die von der Mongeschen Schule gewonnenen über die Polarität in Bezug auf
eine Fläche zweiter Ordnung, die dort zum ersten Male sich vereinigt
finden, das Gesetz der Dualität vorbereiteten, welches, von Snellius
(1581-1626)[36] und Viète[37] in der sphärischen Geometrie erkannt,
bestimmt war, in seiner ganzen Allgemeinheit vier Jahre später von Gergonne
(1771-1859)[38] ausgesprochen zu werden; daß sich schließlich dort jene
eleganten Untersuchungen über die Vielecke, die einem Kegelschnitt ein- und
einem anderen umbeschrieben sind, finden, die Jacobi (1804-1851), Richelot
(1808-1875) und anderen Gelegenheit geben sollten, davon eine der
elegantesten Anwendungen der Theorie der elliptischen Funktionen zu machen,
welche man kennt.[39]

Die Abhandlungen, welche Poncelet der Theorie der harmonischen Mittel, der
reciproken Polaren und der {17} Transversalen widmete, sowie andere weniger
bedeutende von Gelehrten, welche zur Mongeschen Schule gehörten, führen uns
zum Jahre 1837, in welchem Chasles' (1796-1880) _Aperçu historique sur
l'origine et le développement des méthodes en géométrie_[40] veröffentlicht
wurde. In diesem unübertrefflichen Werke brachte der Autor, nachdem er in
bewunderungswerter Form alles, was das Erbteil der reinen Geometrie in
seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte, die Rechte zur Geltung, die
sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und welche von den blinden
Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren, und zeigte durch wichtige
und originelle Untersuchungen, mit welchem Rechte er sich zum Beschützer
der Sache der Geometrie gemacht hatte.[41]

Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des Ponceletschen
Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich Deutschland aus dem
Schlafe gerüttelt, in welchen die einschläfernden Arbeiten der Schule {18}
der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses Wiedererwachen bedeutete
einen neuen Übergang des Szepters der Mathematik von Frankreich nach
Deutschland.[42] In der That sehen wir durch die Arbeiten von Gelehrten wie
Möbius (1790-1868),[43] Steiner (1796-1863),[44] {19} Plücker
(1801-1868)[45] und von Staudt (1798-1867)[46] die analytische Geometrie
sich mit Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre
Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und
die abgekürzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie
Hilfsmittel erwerben für das Studium, der Kurven und Oberflächen, die bis
dahin für dieselbe unerreichbar {20} waren, sowie für die Gründung einer
reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhängig ist von dem Begriffe
des Maßes. Dank dem von Crelle (1780-1855) in dieser Zeit gegründeten
Journal (1826), das bald zu verdientem Rufe gelangte, vorzüglich durch die
Abhandlungen Abels (1802-1829), Jacobis und Steiners verbreiteten sich die
eben angeführten Resultate schnell. Und so sehen wir hinter diesen Größen
eine zahlreiche und glänzende Anzahl von Schülern, welche, indem sie Ähren
lasen auf den Feldern, die von ihren Meistern bebaut waren, die
Fruchtbarkeit des Samens zeigten, den jene ausgestreut hatten.



Hiermit will ich den Abriß der geistigen Bewegung, welche die neuesten
geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich muß
mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die vorgenommene
Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich meine Darstellung
in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit der Theorie der
ebenen Kurven und der Oberflächen beschäftigen, dann, nach einer kurzen
Abschweifung zu den Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und
Oberflächen und über die abzählende Geometrie, werde ich mich mit den
Studien über die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des Ursprunges
und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen Transformationen
überzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der Geraden, um dann mit
der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der Mannigfaltigkeiten von
beliebig vielen Dimensionen zu schließen.[47]

{21}



       *       *       *       *       *

II.

Theorie der ebenen Kurven.

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Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der
cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gründe für die Thatsache
anzugeben, daß das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu diesem
Zeitpunkte verzögert hatte. In der That sind ja die Definition der Ordnung
einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in algebraische und
transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung allgemeinen Kurve
ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie synthetisch zu
bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches heutzutage erst den
wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen sich anschickt; dagegen,
wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine wie leichte Sache ist es
dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen, sie unter einander zu
verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu ziehen!

Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache bestätigt,
daß kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen
Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen,
welche Newton in den drei berühmten Theoremen, die in seiner _Enumeratio
linearum tertii ordinis_ (1706) enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner
diejenigen, welche Newtons Schüler Cotes (1682-1716) und Maclaurin als eine
Verallgemeinerung der von Newton entdeckten Eigenschaften gaben;[48] {22}
schließlich die von Waring (1734-1798)[49] gefundenen. Überdies wurden noch
von Maclaurin[50] und Braikenridge (etwa 1700, + nach 1759)[51] einige
interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefügt, die
ähnlich denjenigen waren, welche Newton für die Kegelschnitte gegeben
hat.[52] Endlich wurden von De Gua (1712-1786)[53] Methoden für die
Bestimmung der Singularitäten der durch Gleichungen definierten ebenen
Kurven angegeben.

Es ist überflüssig zu sagen, daß die ersten methodischen Bearbeitungen der
Theorie der ebenen Kurven unter dem Einflüsse der analytischen Geometrie
stehen; wir verdanken solche Euler[54] und Cramer (1704-1752)[55]. Diese
studierten dieselben von Grund auf (kurz nacheinander, der eine 1748, der
andere 1750), indem sie sich vorzugsweise mit den Singularitäten befaßten,
besonders mit den Fragen, welche man heute mit Hilfe der Geometrie des
unendlich Kleinen löst. In dem Werke von Cramer, das in vielen Beziehungen
zu bewundern ist, finden wir auch schon die ersten Untersuchungen über die
Schnitte von Kurven und unter diesen auch den Hinweis auf das, was man
später »das Cramersche Paradoxon« genannt hat; das ist jener scheinbare
Widerspruch zwischen der Zahl der Punkte, die zur Bestimmung einer Kurve
von gegebener Ordnung nötig {23} sind, und der Zahl der Schnitte zweier
Kurven derselben Ordnung,[56] ein Widerspruch, welcher viele Jahre später
(1818) von Lamé (1795-1870) durch das berühmte Prinzip aufgehoben wurde,
welches seinen Namen trägt und das man als den Grundstein jenes gewaltigen
Bauwerkes ansehen muß, welches aus einer Fülle von Lehrsätzen von
Gergonne,[57] Plücker,[58] Jacobi,[59] Cayley[60] errichtet ist, und auf
dessen Gipfel die geometrische Interpretation des berühmten Abelschen
Theorems[61] steht.

Nach den Arbeiten Eulers, Cramers und dem _Examen des différentes méthodes
employées pour résoudre les problèmes de géométrie_, in welchem Lamé mit
großem Erfolge das vorhin angeführte Prinzip auseinandergesetzt und
angewandt hatte, müssen wir uns zu Plücker wenden, um zu Arbeiten zu
kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die uns
beschäftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem ausgezeichneten
Geometer veröffentlichten _System der analytischen Geometrie_ ist von der
Methode der abgekürzten Bezeichnung Gebrauch gemacht und dieselbe für die
Vervollständigung der Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt
worden, welche so viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier
Jahre später gedruckten {24} _Theorie der algebraischen Kurven_[62] findet
sich dann noch außer einer Aufzählung der ebenen Kurven vierter
Ordnung,[63] welche Bragelogne (1688-1744)[64] und Euler[65] nur versucht
hatten, die Aufstellung und Lösung einer Frage von sehr großer Wichtigkeit,
derjenigen nämlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der gewöhnlichen
Singularitäten einer ebenen Kurve zu finden. Schon Poncelet hatte (1818)
den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer allgemeinen
Kurve ihrer Ordnung gefunden und später den Einfluß eines Doppelpunktes
bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der Dualität
anwandte, stieß er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch, welchen wir
heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne daß es ihm gelang, dafür eine
vollständige Erklärung zu finden. Das geschah durch Plücker vermittelst der
berühmten nach ihm benannten Formeln, welche gestatten, drei
Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse, Zahl der
Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der
Rückkehrpunkte), wenn man die übrigen kennt.

Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die
Plückerschen Formeln gelösten ist, ob jeder Lösung derselben eine wirkliche
Kurve entspreche, mußte man negativ antworten, da neuere Untersuchungen
{25} dargethan haben, daß für gewisse Kurven (die rationalen Kurven) die
Zahl der Rückkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht übersteigen kann.[66]

Auf der anderen Frage, die Plückerschen Formeln auf eine Kurve auszudehnen,
welche mit Singularitäten höherer Ordnung ausgestattet ist, beruhen die
Untersuchungen von Cayley und anderen,[67] welche zu dem Schlüsse geführt
haben, daß jede Singularität einer Kurve als äquivalent einer gewissen
Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und Doppeltangenten
betrachtet werden kann.

Ich füge noch hinzu, daß man durch Jacobi,[68] Hesse (1811-1874),[69]
Salmon,[70] Cayley[71] und deren zahlreiche Kommentatoren[72] heute im
Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch
eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Berührungspunkte ihrer
Doppeltangenten anzugeben.

Dank dem einen der überaus wertvollen Lehrbücher,[73] mit welchen Salmon so
gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen
Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich über diese und
viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen
Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.

{26}

Man braucht aber nicht zu glauben, daß bei diesem Studium der fortwährende
Gebrauch der Analysis unumgänglich sei; vielmehr erhob sich bald neben der
Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch Euler, Cramer, Plücker,
Salmon eine ebenso vollständige, aber mehr geometrische Theorie.

In einer berühmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie
gemacht wurde, zeigte Steiner, indem er die Theorie der Polaren eines
Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche Bobillier
(1797-1832) schon vordem[74] als eine Erweiterung der Diametralkurven
Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch Graßmann (1809-1877)
sich beschäftigt hatte,[75] daß dieselbe als Grundlage für ein vom
Gebrauche der Koordinaten unabhängiges Studium der ebenen Kurven dienen
kann, und führte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten
Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen
Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von Steiner selbst, von
Chasles[76] und Jonquières[77] über die Entstehung der algebraischen Kurven
vermittelst projektiver Büschel von Kurven niederer Ordnung, dienten als
Grundlage für die _Introduzione ad una teoria geometrica delle curve
piane_,[78] in {27} welcher Cremona in einer einheitlichen Methode zugleich
mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was wichtigeres von den
analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten worden war.

Bei dem außerordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, daß man
in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von Abhandlungen
zu stellen hat, in welchen Clebsch (1833-1872) zuerst die Algebra der
linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, dann, nachdem er
die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve ins Licht
gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[79] und Abelschen
Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und sie für das
Studium der rationalen und elliptischen Kurven benützte.[80] Es ist wahr,
daß Brill und Nöther in einer Abhandlung,[81] deren Bedeutung von Tag zu
Tag wächst, gezeigt haben, daß die Theorie der algebraischen Funktionen in
vielen Fällen die der eben angeführten Transcendenten ersetzen kann, aber
das vermindert nicht, sondern vergrößert vielmehr das Verdienst, welches
man den Methoden von Clebsch zuerkennen muß, da die von hervorragenden
Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines {28} Hilfsmittels
vermeiden zu können, der überzeugendste Beweis der Macht desselben sind.

Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln allgemeine Eigenschaften der
ebenen algebraischen Kurven.[82] Aber an sie reiht sich eine große Menge
von schönen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von Kurven
behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen.

Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von Maclaurin,[83] von
Sylvester,[84] Cayley,[85] Salmon,[86] Durège,[87] Cremona,[88] von
Sturm,[89] von Küpper,[90] Graßmann,[91] Milinowski[92] und von anderen
über die Kurven dritter Ordnung,[93] die Kapitel des _Barycentrischen
Calculs_, dann verschiedene Arbeiten von Em. Weyr,[94] von Clebsch und {29}
vielen anderen[95] über die rationalen Kurven; die wichtigen Untersuchungen
Steiners und Chasles' über die Kurven, die mit einem Centrum versehen
sind,[96] und die von Steiner über die dreispitzige Hypocykloide;[97]
ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der Verallgemeinerung der dort
ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[98] die interessanten
Untersuchungen von Bertini[99] über rationale Kurven, für welche man
willkürlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die wichtigen Studien von
Brill über die Kurven vom Geschlechte zwei,[100] dann die eleganten
Abhandlungen von Klein und Lie[101] über die Kurven, welche eine
infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich die von
Fouret über die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in bezug auf
unendlich viele Kegelschnitte sind,[102] und die von Smith (1826-1883) über
die Singularitäten der Modularkurven.[103]

{30}

Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung
von Steiner über die einer ebenen kubischen Kurve[104] oder einer Kurve
vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf
welche die jüngsten Arbeiten von Küpper[105] und Schoute[106] von neuem die
Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes nötigt
mich, flüchtig hinwegzugehen über die Untersuchungen von Cayley _On
polyzomal Curves otherwise the Curves_ [Wurzel]u + [Wurzel]v + ... =
0;[107] von Graßmann, Clebsch,[108] Schröter[109] und Durège,[110]
betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, über die von
Lüroth,[111] von Casey,[112] Darboux,[113] Siebeck,[114] von Crone,[115]
Zeuthen[116] und noch anderen über einige spezielle ebene Kurven vierter
Ordnung, über die von Battaglini, die sich auf die syzygetischen Kurven
dritter Ordnung beziehen,[117] und andere, welche auch eine besondere
Erwähnung verdienen würden.

{31}

Was ich aber nicht mit Stillschweigen übergehen kann, das sind die Arbeiten
von Hesse über die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und über die
Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[118] dann die von demselben
Hesse,[119] Steiner,[120] Aronhold[121] (1819-1884) über die
Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende
Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins
Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von Geiser[122] durch
stereometrische Betrachtungen dargethan, von Clebsch[123] dagegen und
Roch[124] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht.



       *       *       *       *       *

III.

Theorie der Oberflächen.

------



Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen
Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluß der Analysis auf dieselbe
mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu,
sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschäftigen, welche Analogien mit
den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn auch
die Forschungen über die Oberflächen {32} bald denen über die ebenen Kurven
folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs.

Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere
Oberflächen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und
Sphäroide, die plektoidischen Oberflächen und wenige andere). Erst Wren
(1669), Parent und Euler begannen sich mit den Oberflächen zweiten Grades
zu beschäftigen, und wir müssen zur Schule von Monge gehen, um die
Eigenschaften von grösserer Wichtigkeit dieser höchst bemerkenswerten
Oberflächen anzutreffen.[125] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in
unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die
Flächen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele
andere hinzugefügt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter, wie
Jacobi,[126] {33} MacCullagh (1809-1847),[127] Chasles,[128] Hesse,[129]
Seydewitz (1807-1852),[130] Schröter[131] konnte die Theorie der
Oberflächen zweiter Ordnung in den mehr elementaren {34} Unterricht
eingeführt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem
Wege behandelt werden.[132]

Aber nach der Lehre von den Oberflächen zweiten Grades entstand und
entwickelte sich alsbald die der Oberflächen höherer Ordnung. Chasles[133]
und Gergonne,[134] als die ersten, entdeckten an diesen Gebilden wunderbare
Eigenschaften. Poncelet bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung
allgemeinen algebraischen Oberfläche[135] und eröffnete so die
Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit welchen
Salmon[136] und Cayley[137] die Lösung der analogen Aufgabe zu derjenigen
versuchten, welche Plücker durch seine berühmten Formeln gelöst hatte.

Jacobi[138] und später Reye[139] beschäftigten sich mit den Kurven und
Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflächen
entstehen. Chasles,[140] Cremona,[141] Reye,[139] Escherich,[142]
Schur,[143] mit ihrer {35} Entstehung vermittelst projektiver oder
reciproker Systeme von Oberflächen niederer Ordnung, Graßmann
(1809-1877)[144] mit anderen Erzeugungsweisen; Salmon,[145] Clebsch,[146]
Sturm,[147] Schubert[148] und andere behandelten eine wichtige Klasse von
Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen
Oberfläche Berührungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schließlich
entdeckte Schur vor kurzem eine lineare Konstruktion[149] für Flächen
beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der
Oberflächen beliebiger Ordnung verdanken wir Reye.[150]

Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze halber stillschweigend
übergehen muss, trotz der schönen Darlegungen, welche Salmon[151] und
Cremona[152] über sie gemacht haben, kann man doch nicht sagen, daß die
Theorie der Oberflächen weit vorgeschritten sei. Die Fragen, die noch zu
lösen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler Wichtigkeit, und die
Mittel, die zur Überwindung der Schwierigkeiten, welche deren Lösung
bietet, zur Verfügung stehen, sind noch nicht genügend vervollkommnet.
Vielleicht ist das der Grund dafür, daß so viele Gelehrte sich zum Studium
besonderer Flächen wandten, indem sie hofften, nicht nur auf diesem Felde
eine reichlichere Ernte von Wahrheiten zu machen, sondern auch zu
Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der Verallgemeinerung fähig sind. --
Und {36} daß ihre Erwartungen teilweise nicht getäuscht worden sind, das
beweisen die zahlreichen Resultate, die man schon über die Oberflächen
dritten Grades, sowie über einige von der vierten Ordnung erhalten hat,
über welche es mir noch obliegt, Bericht zu erstatten.

Es ist allgemein bekannt, daß die beiden hervorragendsten Eigenschaften
einer Fläche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein
Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die
Geraden der Hesseschen Fläche jener Oberfläche hat. England und Deutschland
können sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn auch schon
im Jahre 1849 Cayley und Salmon[153] die Geraden einer kubischen Fläche
bestimmt haben, und im Jahre 1851 Sylvester[154] das Pentaeder entdeckte,
so ist doch nicht minder wahr, daß Steiner unabhängig von ihnen die
Existenz jener und dieses in seiner berühmten Mitteilung, welche er der
Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.[155] Aber während
die Studien der englischen Geometer fast gänzlich der Fortsetzung
entbehren,[156] steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen
Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflächen dritter
Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich
die Abhandlungen von Schröter,[157] August[158] u. s. w., in welchen einige
der von Steiner ausgesprochenen Sätze bewiesen werden, nur kurz erwähne,
will ich mich darauf beschränken, die Aufmerksamkeit der Leser auf die mit
Recht berühmten Schriften zu lenken, die von {37} Cremona[159] und von
Sturm[160] über diese Oberflächen verfaßt und im Jahre 1866 von der
Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekrönt sind, Arbeiten, auf welche
jeder zurückkommen muß, welcher sich mit diesen wichtigen geometrischen
Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten bei den
verschiedenen Erzeugungsweisen einer Fläche dritter Ordnung, die
Graßmann,[161] August,[162] Affolter[163] und Piquet[164] den von Steiner
angegebenen hinzugefügt haben, bei der Konstruktion dieser Flächen, welche
Le Paige[165] gegeben hat, bei den vielen Sätzen, die sich auf die
Verteilung der Geraden, der dreifach berührenden Ebenen und die Kurven
einer kubischen Fläche beziehen und welche vor kurzem von Cremona,[166]
Affolter,[167] von Sturm[168] und Bertini[169] entdeckt wurden, endlich bei
den von Cremona,[170] Caporali,[171] Reye[172] und Beltrami[173] studierten
Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Fläche dritter Ordnung
verknüpft sind, sowie bei den von Zeuthen[174] betrachteten zwölf {38}
vollständigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch anführen,
daß eine Einteilung dieser Oberflächen, die auf die Betrachtung der 27 auf
ihr gelegenen Geraden sich stützt, von Schläfli gemacht ist[175] und eine
neuere von Rodenberg,[176] die sich auf das Pentaeder gründet, daß ferner
ein genaues und eingehendes Studium der Regelflächen dritten Grades (von
denen eine von Cayley entdeckt wurde) den Gegenstand wertvoller Arbeiten
Cremonas,[177] Em. Weyrs[178] und Benno Kleins[179] bildet, daß schließlich
die sogenannte Diagonalfläche einen wichtigen Teil in einer Untersuchung
von Clebsch über die Gleichungen fünftes Grades bildet[180] und daß andere
besondere Fälle von Cayley[181] und Eckardt[182] in einigen wertvollen
Abhandlungen betrachtet wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, daß die
Untersuchungen von Salmon,[183] Clebsch,[184] Gordan[185] und de
Paolis[186] die {39} geometrische Bedeutung für das Verschwinden der
fundamentalen invarianten Formen der quaternären kubischen Form
festgestellt haben, welche gleich Null gesetzt in homogenen Koordinaten
eine Fläche dritter Ordnung darstellt, daß schließlich Jordan[187] von
Grund auf die Natur der Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der
Geraden einer kubischen Fläche dient, dann glaube ich dem Leser genug
Momente an die Hand gegeben zu haben, um daraus den (von mir eben
angedeuteten) Schluß zu ziehen, daß die Theorie dieser geometrischen
Gebilde, von welchem Punkte man sie auch betrachten mag, heute einen
beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht hat.

Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflächen vierten
Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer
studiert; über jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle
will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flächen
zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flächen vierten
Grades; jene wurde von Poncelet[188] und Chasles[189] untersucht, diese von
demselben Chasles,[190] von Cayley[191] und vollständiger von Cremona.[192]

Dann lasse ich die Oberflächen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen
von Kegelschnitten existieren und welche alle mit außerordentlichem
Scharfsinne von Kummer[193] bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei
besonderer Erwähnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen
gewesen sind: die Oberfläche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt
und die römische Fläche von Steiner.

Von der ersteren entdeckte Kummer im Jahre 1864 die bemerkenswerte
Eigenschaft, daß die ihr doppelt {40} umgeschriebene Developpabele aus fünf
Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand Moutard[194] dieselbe
Eigenschaft für den Fall, daß die Doppelkurve der Oberfläche der unendlich
entfernte imaginäre Kugelkreis ist,[195] und er bemerkte weiter
gleichzeitig mit Darboux,[196] daß in diesem Falle die Oberfläche zu einem
dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflächen, gebildet von Flächen
derselben Art, gehören kann. Von jener Zeit ab wurden die Oberflächen
vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich entfernten imaginären
Kugelkreis haben, wiederholt von Darboux,[197] von Laguerre
(1834-1886)[198] und von Casey[199] studiert; hingegen diejenigen, welche
als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von Cremona,[200]
Geiser,[201] Sturm,[202] Zeuthen,[203] von Clebsch,[204] Korndörfer,[205]
Berzolari[206] und Domsch[207] -- welcher auf sie die hyperelliptischen
Funktionen anwandte -- und diejenigen, welche einen Kuspidalkegelschnitt
haben, von Tötössy.[208] Was die Klassifikation dieser Oberflächen
betrifft, so möge {41} es mir gestattet sein, meinen Namen anzuführen[209]
neben dem meines teuern Freundes Segre.[210]

Die römische Fläche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der
Geometer auf sich gezogen und zwar vorzüglich zweier Eigenschaften wegen;
die eine derselben, nämlich von jeder Tangentialebene in zwei
Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern
betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich
als ganz allgemeine ternäre quadratische Formen darstellen lassen,[211]
wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle
Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[212] wird dieselben in
den synthetischen Abhandlungen von Cremona,[213] Schröter[214] und
Sturm,[215] auf den Seiten, welche Reye ihr in seiner {42} _Geometrie der
Lage_ (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von
Cayley,[216] Beltrami,[217] Clebsch,[218] Eckardt,[219] Laguerre[220] und
Gerbaldi[221] finden.

Kummer verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von
Flächen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflächen, die nicht
singuläre Linien enthalten, sondern nur singuläre Punkte.[222] Wir werden
in kurzem (§ VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen Oberflächen
geführt haben; für jetzt genüge es, hervorzuheben, dass die interessanteste
unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberfläche nennt) 16 singuläre
Doppelpunkte und 16 singuläre Tangentialebenen hat und daß Specialfälle
derselben die Wellenfläche von Fresnel[223] und das von Cayley 1846
untersuchte Tetraedroid[224] sind. Eine solche Oberfläche ist zu sich
selbst dual.[225] Ihre {43} asymptotischen Kurven wurden von Klein und Lie
bestimmt[226] und Reye[227] zeigte, daß jede die Grundkurve eine Büschels
von Oberflächen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den Thetafunktionen
existiert eine innige Beziehung, welche Cayley und Borchardt
(1817-1880)[228] entdeckt haben und die H. Weber[229] zusammen mit anderen
entwickelt hat;[230] die algebraischen Fragen, welche sich an die
Bestimmung ihrer Singularitäten knüpfen, wurden von Jordan[231] gelöst;
endlich kann man dieselbe, wie Rohn[232] es gethan hat, vermittelst der
Theorie der hyperelliptischen Funktionen[233] behandeln.

Indem ich die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in
zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt
haben und andere, mit denen Cayley[234] sich beschäftigt hat, übergehe,
will ich noch die Monoide erwähnen,[235] die von Rohn studiert sind,[236]
und {44} diejenigen Flächen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse
Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen
vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Räumen sich schneiden;
Chasles hat ihre Ordnung bestimmt und Schur eine Menge eleganter
Eigenschaften derselben gefunden.[237]

Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschließen, indem ich noch
einige Oberflächen von höherer als der vierten Ordnung anführe, welche die
Gelehrten schon beschäftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen
Oberflächen erwähnt zu werden, welche im allgemeinen von Chasles,[238]
Salmon,[239] Cayley,[240] von Plücker,[241] La Gournerie (1814-1883),[242]
Voss[243] und im besonderen von Chasles,[244] Cremona,[244] Schwarz,[245]
La Gournerie[246] (Regelflächen, die in bezug auf ein Tetraeder symmetrisch
sind), von {45} Clebsch,[247] Armenante[248] (rationale und elliptische
Regelflächen), von Em. Weyr[249] (Regelflächen, erzeugt durch die
Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in der
Korrespondenz [m, n]), von Ed. Weyr[250] (Oberflächen, erzeugt durch die
Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von Eckardt[251] und
Chizzoni[252] (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien
entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann
folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflächen sind, doch Gerade
enthalten und die von Sturm[253] und Affolter[254] untersucht sind, ferner
die algebraischen Minimalflächen, bei welchen Geiser[255] und Lie[256]
bemerkenswerte Eigentümlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flächen
nennen, die aus einer Oberfläche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der
Krümmungscentren; Fusspunktflächen, Aspidalflächen etc.), sowie die Örter
der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade berühren und durch (6-m)
Punkte gehen, welche Flächen eingehend von Chasles,[257] Lüroth,[258]
Hierholzer[259] und von Cayley[260] studiert wurden, da sie zur Auflösung
gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der einfach
unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten; schließlich
diejenigen, welche unendlich viele lineare {46} Transformationen zulassen,
die kontinuierlich aufeinander folgen;[261] diejenigen, welche die eigenen
reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flächen zweiten Grades
sind,[262] diejenigen, welche durch reciproke Cremonasche Systeme erzeugt
werden,[263] und diejenigen, welche dieselben Symmetrie-Ebenen wie ein
reguläres Polyeder besitzen.[264]



Die Untersuchungen über die Oberflächen, mit denen wir uns bis jetzt
beschäftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl
bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie
zurückgeführt sind oder sich darauf zurückführen lassen. Es giebt aber noch
viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art
behandeln, die größtenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten
lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehört, nicht die
der projektiven Geometrie ist.[265] Diese bilden zusammen mit den Studien,
die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (über
welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr
wichtigen Zweig der Geometrie für sich sowohl, als auch wegen der
Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodäsie und der mathematischen
Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der
Differentialgeometrie. Über die wesentlichen Punkte derselben wollen wir
nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von
dem Erscheinen der _Application de l'Analyse à la Géométrie_[266] {47} von
Monge datieren kann, und das spätere Werk, welches von grösserem Einflüsse
war, das von Gauß (1777-1855) ist, welches den Titel trägt: _Disquisitiones
generales circa superficies curvas_,[267] so nehmen wir in unserer kurzen
Darlegung die von Monge und Gauß angenommene Einteilung des Stoffes als
Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in Hinsicht auf die
von ihnen behandelten Gegenstände geleistet haben, und dann vorführen, was
ihre Nachfolger hinzugefügt haben.

Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse,
da er nur die Bestimmung der Berührungsebenen und Normalen einer Oberfläche
zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden. Die vier
folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflächen, Kegel- und
Rotationsflächen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu
gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen
Leitgeraden enthalten sind. Höchst bemerkenswert ist der folgende
Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den
wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rückkehrkurve (_arête de
rebroussement_) einer Enveloppe eingeführt hat; an diesen Paragraphen
schließen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Röhrenflächen mit
ebener Leitlinie (§ 7), Flächen, die als Linien größter Neigung gegen eine
gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (§ 8), und schließlich
Enveloppen einer Oberfläche, die sich unter der Bedingung bewegt, daß ein
mit ihr unveränderlich verbundener Punkt eine gegebene Kurve durchläuft (§
9).[268] -- Von da ab beginnt die Theorie der partiellen {48}
Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die Monge ihr in der
analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte an zeigt es sich,
daß es in vielen Fällen für die Bestimmung der Natur einer Oberfläche
nützlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung für sie zu haben,
als eine solche in endlichen Ausdrücken. Beispiele hierfür bieten die
Flächen, die in einem speziellen linearen Komplexe enthalten sind mit einer
unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im § 10 und § 11 behandelt),
fernere Beispiele die abwickelbaren Flächen (§ 12), andere die im § 9
beschriebenen, andere schließlich die Örter beweglicher Kurven, von welchen
ein Punkt eine feste Kurve durchläuft (§ 14).[269] -- Die Theorie der
Krümmung einer Oberfläche in einem Punkte,[270] sowie das Studium der
Verteilung der Normalen derselben Fläche[271] führen zu einer neuen Art von
Flächen, die der Betrachtung wert sind; jene und diese finden sich im § 15,
der sicherlich einer der wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der
Spezialfall des Ellipsoides ist im § 16 behandelt, derselbe enthält die
Bestimmung der Krümmungslinien dieser Fläche.[272] -- Groß an Zahl und von
großer Wichtigkeit sind die Fragen, zu denen die Theorie der Krümmung Anlaß
giebt. Man kann z. B. die Oberflächen untersuchen, bei denen der eine
Krümmungsradius für jeden Punkt denselben Wert hat; Monge fand (§ 18), daß
dieselben von einer Fläche von konstanter Form eingehüllt werden, die sich
in der {49} vorhin (in den §§ 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann
dagegen auch voraussetzen, daß in jedem Punkte die beiden Krümmungsradien
gleich und von gleichem Sinne seien: die Oberfläche ist dann eine Kugel.
Wenn dagegen die beiden Krümmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von
entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Fläche eine Minimalfläche.[273]
Oder es sei in jedem Punkte einer der Krümmungsradien gleich groß (§
21).[274]

An die Theorie der Krümmung schließen sich dann die Studien über die
Röhrenflächen mit beliebiger Leitkurve (§§ 22 und 26) und über diejenigen
Flächen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (§ 23), einen
gegebenen Kegel (§ 24) oder eine gegebene Developpabele (§ 25) berühren. --
Für einige dieser Flächenfamilien hat Monge die Konstruktion angegeben, für
alle die Gleichungen, sei es die Differentialgleichungen oder die
endlichen, und, da er sich das Problem gestellt und gelöst hat, von jenen
zu diesen zu gelangen, so verdient denn sein grosses Werk, daß es auch von
denen, welche sich mit der Analysis des Unendlichen beschäftigen, eingehend
studiert werde.

Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die
Differentialgeometrie durch eine höchst wichtige Arbeit bereichert, die
_Developpements de Géométrie_ von Ch. Dupin (1813). In derselben wird unter
anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer
Oberfläche und der der Indikatrix eingeführt; dort sind die asymptotischen
Linien (Haupttangentenkurven)[275] untersucht, und {50} der berühmte Satz
bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems allgemein bekannt
ist.

Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen
Untersuchungen über Flächen mit ebenen oder sphärischen Krümmungslinien
ansehen, die man Dupin,[276] Alfred Serret (1819-1885),[277] O.
Bonnet,[278] Dini,[279] Enneper (1830-1885),[280] Darboux,[281]
Picart,[282] Lecornu,[283] Dobriner,[284] Voretsch[285] und anderen
verdankt.

Von derselben Art, aber von größerer Allgemeinheit sind die wichtigen
Untersuchungen von Weingarten über solche Oberflächen, bei denen in jedem
Punkte der eine Krümmungsradius eine Funktion des anderen ist,[286] welche
Untersuchungen Dini (a. O.), Beltrami[287] und Lie[288] zur Bestimmung der
windschiefen Oberflächen mit derselben Eigenschaft geführt haben. Dasselbe
kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls Weingarten
verdankt[289] und die sich auf Oberflächen beziehen, deren Normalen eine
andere vorgelegte Oberfläche berühren. -- Dem § 20 des Mongeschen Werkes
können wir die {51} zahlreichen Abhandlungen anschließen, welche die
Minimalflächen behandeln. Wir führen zunächst die von Steiner[290] und
Weierstraß[291] an, die sich mit der allgemeinen Theorie befassen, dann die
von Scherk[292] und Bonnet,[293] welche einige Spezialfälle derselben
bearbeitet haben; Serret[294] beschäftigte sich dann mit solchen, die durch
zwei Gerade hindurch gehen, Riemann[295] und Weierstraß[296] mit solchen,
die einen gegebenen Umriß haben, Geiser[297] mit algebraischen,
Noevius[298] mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und
unendlich viele ebene geodätische Linien besitzen; Catalan[299] mit
solchen, die als geodätische Linie eine Parabel haben, Henneberg[300] mit
denen, welche eine semikubische Parabel als geodätische Linie haben;
Bonnet[301] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen
Krümmungslinien befindet; Bour[302] diejenigen, welche auf eine
Rotationsfläche sich abwickeln lassen; Schwarz solche, die durch ein
windschiefes Vierseit bestimmt sind[303] oder die von Kegeln eingehüllt
sind,[304] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische
Kurven enthalten;[305] {52} Enneper[306] untersuchte diejenigen, welche
unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von
Mathet[307] behandelt, von Beltrami,[308] von Lie,[309] Kiepert,[310]
Henneberg,[311] Ribaucour,[312] Bianchi[313] und Pincherle.[314]
Schließlich ist die Theorie der Minimalflächen einer bemerkenswerten
Erweiterung fähig, die von Lipschitz[315] entdeckt wurde.

Wir gehen jetzt dazu über, kurz auseinander zu setzen, welches die
hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon
gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der
_Disquisitiones generales circa superficies curvas_ von Gauß.

Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen höchst
wichtigen Begriff, nämlich den der sphärischen Abbildung einer Oberfläche,
dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm gemacht sind,
dargethan haben. Kurz darauf (§ IV) treffen wir die zwei unabhängigen
Veränderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der Punkte einer
Oberfläche ausdrückt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf einer
Oberfläche. (Vgl. auch die §§ XVII und XIX). Dann enthält § VI die
Erweiterung der Betrachtung, die man gewöhnlich zur Grundlage der Theorie
der Krümmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, aus
welcher Erweiterung der Begriff des Krümmungsmaßes einer Oberfläche in
einem {53} gewöhnlichen Punkte hervorgegangen ist.[316] Bekanntlich ist
dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkrümmungsradien der Fläche
in jenem Punkte[317] (§ VIII). Das Krümmungsmaß einer Oberfläche kann man
sowohl durch die gewöhnlichen kartesischen Koordinaten (§§ VII und IX) als
auch durch die krummlinigen Koordinaten der Oberfläche ausdrücken (§§ X und
XI).[318]

Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die
Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren
Bedeutung in der Theorie der Oberflächen, die auf eine andere abwickelbar
sind[319] (§ XII), Gauß zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine
neue Betrachtungsweise der Oberflächen auf (§ XIII), indem er dieselben als
unendlich dünne, biegsame und unausdehnbare Körper ansah. Die folgenden
Paragraphen der Abhandlung von Gauß behandeln die geodätischen Linien und
haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke (§ XIV und
XVIII), dann die Übertragung der Polarkoordinaten, des Kreises (§ XV), der
Parallelkurven (§§ XVI), auf die Geometrie auf einer Oberfläche, sowie die
Berechnung der totalen Krümmung eines geodätischen Dreiecks (§ XX). Die §§
XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes für das
Kurvenelement, die übrigen behandeln andere Fragen aus der Geodäsie und
dürften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen.

{54}

Schon aus diesen flüchtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an
fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauß ist. Die Entwickelungen,
die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von
denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer
machen. Unter diesen Arbeiten muß man den schönen _Ricerche di analisi
applicata alla geometria_, die Beltrami im zweiten und dritten Bande des
_Giornale di Matematiche_ veröffentlicht hat, eine hervorragende Stelle
einräumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser _Dalle variabili
complesse su una superficie qualunque_,[320] _Teoria generale dei parametri
differenziali_[321] und _Zur Theorie des Krümmungsmasses_.[322]
Bemerkenswert sind ferner die Studien von Bonnet[323] und von Darboux[324]
über die sphärische Abbildung der Oberflächen, die sich an die ersten in
den _Disquisitiones_ enthaltenen Untersuchungen anknüpfen. Der Begriff der
Krümmung führte zum Studium der Oberflächen mit konstanter (positiver oder
negativer) Krümmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Kräfte
gewidmet haben. Unter diesen führen wir die zwei Arbeiten von Beltrami an:
_Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie sopra un
piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette_[325]
und _Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea_,[326] dann
die Schriften von Dini,[327] Lie,[328] {55} Bianchi,[329] Bäklund,[330]
Darboux[331] und Dobriner.[332] Von derselben Art, aber allgemeiner, sind
die Studien von Christoffel[333] über die Bestimmung der Gestalt einer
Oberfläche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Maßen und von
Lipschitz[334] über die Oberflächen, welche bestimmte auf die Krümmung
bezügliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des
Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.

An den Abschnitt der Gaußischen Abhandlung, welcher die geodätischen Linien
behandelt, knüpfen sich einige Arbeiten von Joachimsthal (1818-1861),[335]
Schering,[336] Beltrami,[337] die von Lie[338] gemachte Einteilung der
Oberflächen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer geodätischen Linien
und die Untersuchungen über geodätische Kurven von demselben
Verfasser.[339] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die
Abwickelbarkeit der Oberflächen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von
Minding in enger Beziehung,[340] in der zum ersten Male die Frage
aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krümmung in entsprechenden Punkten
eine hinreichende Bedingung für die Abwickelbarkeit zweier Oberflächen sei:
er gelangte für den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu einem
{56} positiven dagegen für den Fall konstanter Krümmung. Dasselbe gilt von
den Arbeiten von Bour[341] (1832-1866), Codazzi[342] und Bonnet,[343]
welche für preiswürdige Antworten auf die im Jahre 1861 von der Pariser
Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden sind. Derselbe
Gegenstand oder verwandte Gegenstände wurden dann in den Abhandlungen von
Christoffel,[344] von Mangoldt,[345] Weingarten,[346] Brill,[347]
Minding,[348] Jellet,[349] Dini,[350] Enneper,[351] Razzaboni,[352]
Lecornu,[353] Beltrami[354] und vielen anderen behandelt.

Die schöne von Gauß gegründete Theorie der krummlinigen Koordinaten einer
Oberfläche ließ den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie für den Raum zu
haben. Schon im Jahre 1837 stellte Lamé sie für einen Spezialfall auf,
nämlich für den der elliptischen Koordinaten,[355] später wies er auf die
orthogonalen krummlinigen Koordinaten {57} hin[356] und konstruierte dann
die Theorie derselben,[357] ohne ihre Anwendung[358] und Entwickelung[359]
zu vernachlässigen. Die berühmten _Leçons sur la théorie des coordonnées
curvilignes et leurs diverses applications_ (Paris, 1859) von Lamé fassen
zusammen und vervollständigen die glänzenden Resultate, die von Lamé in
diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In der Folge haben sich viele
andere mit demselben beschäftigt. Vor allen führe ich Aoust an, der ihm
viele und wichtige Arbeiten widmete,[360] dann Brioschi,[361] Codazzi,[362]
Chelini (1802-1878),[363] Darboux,[364] Combescure,[365] Levy,[366]
Royer[367] und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften, welche
dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von denen ich nur
diejenigen von Bouquet,[368] A. Serret,[369] Bonnet,[370] Catalan,[371]
Moutard,[372] Darboux,[373] Cayley,[374] Ribaucour,[375] {58}
Weingarten,[376] Schläfli,[377] Hoppe,[378] Bianchi[379] und Molins[380]
nennen will.

Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflächen behandeln, die nicht zu bis
jetzt besprochenen Kategorien gehören, führen wir die von Lie[381] an,
welche sich auf Oberflächen beziehen, die infinitesimale lineare
Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von Enneper,[382] die
sich auf Oberflächen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die von
Cayley[383] und Weingarten[384] und die von Willgrod[385] über Oberflächen,
welche durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt
werden; schließlich die von Bianchi[386] über Schraubenflächen.

Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie
der Oberflächen wurde durch die Bemühungen de Salverts geschaffen, der in
einigen eleganten Arbeiten,[387] wahrscheinlich hervorgerufen durch die
schönen _Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes_ von Hesse,
zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberfläche in ihrer
allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System von
Formeln für die Lösung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn die
Gleichung z = [phi](x, y) zu Grunde gelegt wird.

{59}

Über Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine
verdankt man Hoppe; sie trägt den Titel: _Elemente der Flächentheorie_;
eine andere wurde von Brisse unternommen;[388] die neuesten sind die von
Bianchi in seinen sehr schönen _Lezioni di geometria differenziale_ (Pisa,
1886) und die, welche Darboux in seinen _Leçons sur la théorie générale des
surfaces_ begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen
(Paris, 1887).

Wir wollen diesen Abschnitt beschließen, indem wir noch bemerken, daß die
Zuhilfenahme der Analysis für das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht
notwendig ist; vielmehr haben Bertrand[389] und Bonnet[390] zuerst gezeigt,
welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen
ziehen kann. Außerdem enthalten der erste Band des _Traité de calcul
différential et intégral_ von Bertrand und der _Traité de géométrie
descriptive_ von de la Gournerie[391] und eine große Zahl von überaus
schönen Abhandlungen von Mannheim[392] bemerkenswerte geometrische
Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir
uns eben beschäftigt haben, angehören.

{60}



       *       *       *       *       *

IV.

Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen. Abzählende
Geometrie.

------



Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der
Kurven und die der Oberflächen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien
der Untersuchung übergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen
Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen können.

Die erstere umfaßt eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum
Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflächen von
gegebener Ordnung annehmen können, und ich halte es für angemessen, bei
diesen eine Zeit lang zu verweilen.

Die Bestimmung der Gestalt der Kurven zweiter Ordnung reicht schon in das
Altertum. Für dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden Geistes,
wenn man bedenkt, daß die Alten jene Kurven als Schnitte eines Kreiskegels
betrachteten.

Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven dritter Ordnung
annehmen können, nicht ohne Schwierigkeit. Newton überwand diese, indem er
lehrte, daß alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fünfen
derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden
können.[393] Zu dieser ersten Einteilung der Formen {61} der Kurven dritter
Ordnung fügte Chasles[394] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf einem
ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu verkennende
Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven dritter Ordnung
sämtlich auffinden durch Projektion von fünfen derselben, die symmetrisch
in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der Einteilung endlich
stützt sich auf das konstante Doppelverhältnis der vier Tangenten, die man
an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem ihrer Punkte aus ziehen
kann; diese wurde von Durège entwickelt.[395]

{62}

Bei weitem grössere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der ebenen
Kurven vierter Ordnung, die schon angeführten Arbeiten von Bragelogne,
Euler und Plücker bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es scheint aber
nicht, daß man diese -- dasselbe gilt auch von den schon genannten auf die
kubische Kurve bezüglichen -- als die Grundlage zu einer allgemeinen
Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr muß man
dieselben als die ersten Vorläufer jener Lehren betrachten, die man heute
als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht. Solche Lehren gehören in
das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil aber waren sie das
Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft der
Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von Staudt in seiner _Geometrie
der Lage_[396] auseinandergesetzt und beziehen sich auf die Gestalten der
ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und die unpaaren Züge der
Kurven, die Rückkehrelemente der Figuren; andere wurden von Tait[397]
angegeben und von J. Meyer entwickelt,[398] andere schließlich von Hart
angedeutet[399] und mit vielem Glücke von E. Kötter verallgemeinert.[400]
Die zweiten sind fast alle aus der Schule von Klein hervorgegangen. Da ich
auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes nicht eingehen kann, so
möge es hier genügen, unter den schon erhaltenen Resultaten einige
besondere Sätze über die Kurve vierter Ordnung anzuführen, die man
Zeuthen[401] und Crone[402] verdankt; dann {63} eine sehr wichtige Relation
zwischen den Zahlen der reellen und imaginären Singularitäten einer ebenen
Kurve, zu welcher Klein geführt wurde,[403] als er die von Plücker[404] und
Zeuthen vorgeschlagenen Klassifikationen der Kurven vierter Ordnung
studierte; ferner einen sehr schönen Lehrsatz,[405] von Harnack (1851-1888)
entdeckt, welcher dadurch, daß er eine unerwartete Beziehung zwischen der
Form einer Kurve und ihrem Geschlechte enthüllte, die Wichtigkeit des
letzteren von neuem bestätigte.

Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit
entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen
Untersuchungen über die Oberflächen sagen, daß sie sich noch in ihrer
Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren
meines Wissens nicht, außer denjenigen, die von Möbius in seiner _Theorie
der elementaren Verwandtschaften_ niedergelegt sind,[406] und welche, so
scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger
erwarten lassen, welcher die ganze Fülle derselben zu Tage fördert.
Dasselbe gilt für gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen
Arbeiten von Klein zerstreut sind. Für den Fortschritt der Geometrie würde
es von höchstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen;
unglücklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten
Jahren ist vielleicht Rohn[407] der einzige, der hierin einige Fortschritte
gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden.

{64}

Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes
Bedürfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die
Bestimmung der Gestalt der Oberflächen zweiten Grades übergehe ich als zu
einfach und führe die der Oberflächen dritter Ordnung an, die mit Erfolg
von Klein,[408] Schläfli,[409] Zeuthen[410] gemacht ist, und neuerdings von
Bauer durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve
vervollständigt wurde;[411] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir
Maxwell[412] verdanken; dann die der Oberflächen vierter Ordnung mit
Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Zeuthen[413] herrührt; die der
Oberflächen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von Crone[414]
ausgeführt ist; endlich die der Kummerschen Flächen und der Kegelflächen
viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von
Rohn[415] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von Ludwig
Brill, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien vermehrt, zeigt
das Interesse, welches das gelehrte Deutschland für vorliegende
Untersuchungen hat.[416]

Was die Gestalt der Kurven doppelter Krümmung angeht, so existieren darüber
bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man kann
sagen, daß sich dieselben auf die Beobachtungen beschränken, die Chr.
Wiener[417] {65} und Björling[418] gemacht haben, indem sie die Modelle der
gewöhnlichen Singularitäten einer Raumkurve konstruierten.

Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der Anzahl
der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen genügen, die
hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der Bézoutsche
Lehrsatz, welcher die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systems von
algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht verwendbar für die
Lösung solcher Fragen, da, während dieser Satz auf allgemeine Gleichungen
ihres Grades sich stützt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche,
diese Probleme analytisch zu lösen, erhält, von spezieller Form sind.
Wahrscheinlich ist das der Grund dafür, daß diese Probleme größtenteils bis
in verhältnismäßig neuerer Zeit ungelöst geblieben sind.[419]

Auf Chasles fällt der Ruhm, in seiner _Methode der Charakteristiken_ ein
feines und mächtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine
große Zahl von Problemen der angedeuteten Art für den Fall, daß die
betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, lösen konnte und
einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die {66} Gebilde beliebige sind,
zur Lösung derselben zu gelangen.[420] Der Hauptgedanke desselben war die
fortwährende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische
Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von
Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des
Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene Gerade
berühren.

Dadurch, daß man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel
erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. Chasles selbst entdeckte
alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im
Raume[421] und auf die Flächen zweiter Ordnung.[422] Zeuthen und Maillard
gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen Abhandlung,
die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, _Almindelige Egenskaber ved
Systemer af plane Kurver_,[423] der andere in seiner Dissertation
_Recherches des caractéristiques des systèmes élémentaires de courbes {67}
planes du troisième ordre_;[424] andere findet der Leser in den Schriften
von Sturm über die kubischen Raumkurven[425] und denen von Schubert über
die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter Klasse, im Raume
betrachtet.[426] Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge
mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von Cayley,
_On the curves which satisfy given conditions_[427] enthalten sind, sowie
in einigen Arbeiten von Jonquières über Systeme von Kurven und
Flächen.[428] Endlich gehören hierher noch die Untersuchungen von
Hirst[429] und Sturm[430] über Systeme von Projektivitäten und
Korrelationen, sowie die von Zeuthen[431] über die Plückerschen
Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken, daß zwischen den
Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung mit
zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen
giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von Kurven
darstellen. Die gegebene Differentialgleichung läßt jedem Punkte eine
bestimmte Anzahl von ihm ausgehender Richtungen entsprechen und einer
Geraden eine bestimmte Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese
Beziehungen wurde Clebsch durch seine Untersuchungen über die Konnexe[432]
(vgl. § VI) und unabhängig von Fouret[433] {68} geführt. In ähnlicher Weise
kann man eine Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster Ordnung
mit drei Variabelen und einem Systeme von Oberflächen aufstellen, wie dies
ebenfalls Fouret[434] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von grosser
Wichtigkeit, weil er gestattet, Sätze auf transcendente Kurven oder
Oberflächen auszudehnen, von denen man glaubte, daß sie nur für
algebraische Kurven oder Oberflächen gültig seien; so konnte Fouret den
Satz über die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene
algebraische Kurve berühren, auf Systeme von transcendenten Kurven
ausdehnen,[435] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Berührungspunkte
eines einfach unendlichen Systemes von Oberflächen mit den Oberflächen
eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[436] ebenso die Ordnung des
Ortes der Berührungspunkte der Oberflächen eines doppelt unendlichen
Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberfläche[437] u. s. w.[438]

Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze wegen übergehe, war
die ganze Tragweite der Chaslesschen Betrachtungen noch nicht offenbar
geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe,
durch Hermann Schubert in seinem _Kalkül der abzählenden Geometrie_.[439]
Dieses Buch, das noch viel zu wenig {69} geschätzt wird, kann man mit Recht
als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem
behandelte, »zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener
Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genügen,« d. h. das
Problem der abzählenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien
unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,[440] dort ist klar
erörtert, was man unter dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur
zu verstehen hat, und sind Methoden von außerordentlicher Macht für dessen
Lösung gezeigt. Die Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt, eines Tages
das übliche Hilfsmittel für den Mathematiker zu werden, wie es
augenblicklich die Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der
Übertreibung beschuldigen, der bedenkt, daß dieselben in einer Unzahl von
Fällen zur Lösung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h.
die Zahl der Lösungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu
bestimmen. Daher müssen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von
Schubert, durch welches er die abzählende Geometrie zu einer besonderen
Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu
bewundern, sich {70} vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu
vervollkommnen und sie von Mängeln frei zu machen, d. h. sie von dem Tadel,
der ihnen von einigen gemacht worden ist, daß sie nicht ganz strenge seien,
zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen, deren sie fähig
sind, zu vermehren.

Die auf die Theorie der Charakteristiken bezüglichen Andeutungen[441]
würden eine unverzeihliche Lücke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick
auf eine wichtige Frage böten, die zwischen einigen Geometern ventiliert
wurde, und die man heute als schon gelöst betrachten darf. Geleitet nämlich
durch einen Induktionsschluß, behauptete Chasles, daß die Zahl derjenigen
Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer neuen
einfachen Bedingung genügen, ausgedrückt wird durch eine homogene lineare
Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten einzig und
allein von dieser Bedingung abhängen. Darboux,[442] Clebsch,[443]
Lindemann,[444] Hurwitz und Schubert,[445] sowie noch andere glaubten
diesen Satz beweisen zu können. Aber daß die von ihnen angeführten Gründe
nicht beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in
welchen Halphen[446] die Hinfälligkeit der Vermutung Chasles' klar legte
und zeigte, wie man den vorher angeführten Satz modifizieren müsse. In der
Theorie der Charakteristiken der Systeme von Flächen zweiten Grades hat man
einen analogen Satz, den ebenfalls Halphen[447] entdeckt hat. Jedoch glaube
man nicht, daß diese Sätze {71} von Halphen die Resultate zerstören, welche
man erhalten, indem man den Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind
dieselben glücklicherweise meistenteils unabhängig von dem fraglichen
Theorem, und für die anderen Fälle ist es leicht zu zeigen, welche
Korrektionen man machen muß.[448]



       *       *       *       *       *

V.

Theorie der Kurven doppelter Krümmung.

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Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen Richtungen
verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge faßt, daß eine solche
Kurve durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes einer
Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im Raume die Theorie
der Oberflächen, indem diese als durch eine Gleichung zwischen den
Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet werden, auf
welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man
hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen
Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die
Beschränkung aufhebt, daß diese in einer Ebene gelegen seien: dann entsteht
die Theorie der unebenen Kurven.

Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug
mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von
denjenigen, die für die {72} ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde
dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von Clairaut
unternommen und wurde hernach von Lancret (1774-1807),[449] Monge,[450]
Tinseau,[451] de Saint-Venant (1797-1886),[452] von Frenet,[453] Alfred
Serret[454] und Paul Serret, von Liouville (1809-1882),[455] Bertrand,[456]
von Puiseux (1820-1883),[457] von Lie[458] und vielen anderen
fortgesetzt.[459]

Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der
übrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr große
Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, daß jede Kurve im Raume als
der vollständige Schnitt zweier Oberflächen angesehen werden und daher
durch ein System von zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten eines
Punktes im Raume dargestellt werden könnte;[460] aber bald erkannte man die
Existenz von Kurven, die nicht der vollständige Schnitt von Oberflächen
sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst zweier, {73}
sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen durch dieselbe
hindurchgehenden Oberflächen entsprechen. Man setzte voraus, daß die
Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven hinreichen würde,
aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war, erkannte man, daß
dieselbe nicht genüge.[461] Man hätte nun glauben sollen, daß die Ordnung
und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte für den besagten Zweck hinreichen
würden, aber als man an die neunte Ordnung herantrat, sah man, daß man sich
geirrt habe.[462] Auch eine dritte Zahl, die niedrigste Ordnung der Kegel,
die durch die von einem Punkte herkommenden Sehnen (Doppelsekanten) der
Kurve gehen, konnte nur bei den Kurven von niederer, als der fünfzehnten
Ordnung dazu verhelfen. So kam man denn zu dem Schlusse, daß es unmöglich
sei, eine gegebene Kurve vermittelst einer bestimmten Menge von vornherein
angebbarer Zahlen zu charakterisieren.

Ich habe diese Thatsachen anführen wollen, um zu zeigen, daß die allgemeine
Theorie der unebenen Kurven keine Ähnlichkeit mit irgend einem anderen
Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die erschreckliche Dunkelheit,
die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel geben wollen, den Grund zu
finden, warum die Kenntnisse, die wir über diese Gebilde haben, so wenig
zahlreich und erst neueren Ursprunges sind.

Die ersten allgemeinen Resultate über die Kurven doppelter Krümmung
verdanken wir Cayley, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet
hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von Plücker)
auf, welche die Zahl der Singularitäten einer Raumkurve {74} untereinander
verbinden.[463] In der anderen führte er für das Studium der Raumkurven von
der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flächen ein, welche er »Monoide«
nannte.[464]

Nach diesen Arbeiten müssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten
Fortschritt in der Theorie, welche uns beschäftigt, zu finden, uns zu
Halphen und Nöther wenden, deren Abhandlungen[465], im Jahre 1882 von der
Akademie zu Berlin mit dem Preise gekrönt, die Grundlage für eine
allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme:
»alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen«,
»anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberfläche giebt« und noch
viele andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten
verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, daß es sehr
schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den
vielen gemeinsamen {75} Resultaten zufällt, die sie enthalten. Wenn
einerseits Nöther die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in
den _Comptes rendus_ und an anderen Stellen[466] ausgesprochen sind,
ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Sätze bedienen, welche in der
sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Nöther, _Über die algebraischen
Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie_[467] enthalten sind, und in
derjenigen, in welcher Nöther streng den Fundamentalsatz der Theorie der
algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung
von Halphen unumgänglich notwendig war.[468] Und man glaube nicht, daß die
von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im
wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie
Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und
Sätze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der
andere solche Lehrsätze über die algebraischen Funktionen an, welche zu
denselben Eigenschaften führen. Jedenfalls steht es außer Zweifel, daß
diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind,
die Grundlage für die zukünftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden,
und wenn bis jetzt sich ihr Einfluß noch nicht so allgemein geltend gemacht
hat, so ist dieses vorzugsweise den großen Schwierigkeiten zuzuschreiben,
die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch den Lücken,
die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe nehmen könnte, um jene
zu überwinden.[469]

{76}

Aber vor der Begründung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne
Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wünsche, mehr als
getreuer, denn als glänzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so
muß ich hier eine Aufzählung der Arbeiten unternehmen, in welchen die
hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind.

  »_Degli altri fia laudabile il tacerci,_
  _Chè il tempo saria corto a tanto suono._«[470]

Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen
Raumkurven behandeln. Über diese haben Möbius[471] und Chasles[472]
verschiedene sehr schöne Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten
sich mit solcher Schnelligkeit, daß Staudt[473] binnen kurzem die
vollständige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht,
feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr
vervollkommnet, dank den Studien von Seydewitz,[474] Joachimsthal[475]
Cremona,[476] {77} Schröter,[477] Reye,[478] Emil Weyr,[479] Sturm,[480]
Hurwitz,[481] welche nicht allein die Aufstellung einer vollständigen
synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain
für die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein
innigst geliebter Lehrer E. d'Ovidio[482] und Pitarelli[483] gemacht haben.

Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide
gezeichneten Kurven anführen, für welche Chasles[484] das Fundament gelegt
hat, und die von unserem Cremona[485] so sehr bereichert ist. Ferner will
{78} ich der vielen Eigenschaften erwähnen, welche Poncelet,[486]
Chasles,[487] Cremona,[488] Reye,[489] Paul Serret,[490] Laguerre,[491]
Milinowski[492] und viele andere über die Raumkurven vierter Ordnung erster
Art gefunden haben, und die schönen Anwendungen, die sie für die Theorie
der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, -- Harnack,[493]
Lange,[494] Westphal,[495] Léauté[496] u. s. w. Auch kann ich die schönen
Arbeiten von Cremona,[497] von Armenante,[498] Bertini[499] und Em.
Weyr[500] über die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht
stillschweigend übergehen, ferner nicht die von Klein und Lie über die
durch unendlich viele lineare Transformationen in sich selbst
transformierten {79} Kurven,[501] noch auch die von Fiedler[502]
angestellte Bestimmung der Kurven von nicht höherer als neunter Ordnung,
die zu ihren eigenen Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie könnte ich
es unterlassen, einen Blick auf die große Zahl von Kurven zu werfen, welche
Cremona und Sturm[503] studiert haben, indem sie sich mit der Geometrie auf
einer Oberfläche dritter Ordnung beschäftigten, dann auf die wichtigen
Probleme, die von Clebsch und seinen Schülern über die rationalen,[504]
elliptischen und hyperelliptischen[505] Kurven gelöst sind, und die
eleganten Eigenschaften, welche Bertini[506] an den rationalen Kurven
fünfter Ordnung auffand, sowie W. Stahl[507] bei denjenigen, deren Punkte
auf einer Oberfläche zweiten Grades liegen, während die Oskulationsebenen
eine solche zweiter Klasse berühren?

Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene
Untersuchungen aufzählen hört, wird er sich von einem gewissen Kleinmute
bedrängt fühlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit möglich sei,
dieselben, wenn auch nicht alle, so doch größtenteils sich anzueignen? Man
beruhige sich. Die Übersicht ist für den Studierenden viel weniger
schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen könnte. Die von den
Geometern der ersten Hälfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien
sind so fruchtbar, daß, wenn jemand sich dieselben gründlich zu eigen
gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen ableiten,
sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst weiter zu
fördern. Und dieses -- was sicherlich ein {80} nicht zu unterschätzender
Vorzug der heutigen Wissenschaft vor der unserer Väter ist -- wurde in
Kürze von einem ihrer Gründer mit den fortan klassischen Worten
ausgesprochen: _»Peut donc qui voudra dans l'état actuel de la science
généraliser et créer en géométrie; le génie n'est plus indispensable pour
ajouter une pierre à l'édifice«_,[508] goldene Worte, welche jeder, der
Mathematik betreiben will, sich einprägen muß; indem sie ihn auf einen
wahrscheinlichen Sieg hoffen lassen, werden sie ihn anspornen, sich mutig
den geistigen Kämpfen entgegenzustellen, die ihn erwarten.



       *       *       *       *       *

VI.

Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen.

------



Bei dieser flüchtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen
gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und
Transformationen. -- Es ist bekannt, daß zwischen zwei ebenen Punktfeldern
eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem Punkte des einen
eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist; diese heißen dann die
»entsprechenden« zu jenem. Wenn im speziellen Falle jeder Punkt des einen
Feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat, so heißt die
Korrespondenz »eindeutig«.

Die einfacheren Fälle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie --
von Poncelet studiert (1822) -- und die Kollineation (Homographie), von
Möbius (1827), Magnus (1833) und Chasles (1837) studiert. In diesen Fällen
entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern {81} auch jeder
Geraden eine Gerade. -- Ein Beispiel einer komplizierteren Korrespondenz
wurde von Steiner (1832) durch folgende Konstruktion erhalten:[509] Gegeben
sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe Geraden; durch jeden Punkt
der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche die beiden gegebenen
Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit der anderen Ebene.
Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene gewählten Punkte
zuordnet, erhält man eine eindeutige Beziehung von der Art, daß jeder
Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen entspricht. Läßt
man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhält man eine Korrespondenz,
welche im wesentlichen nicht von der durch Poncelet[510] zwischen in bezug
auf ein Kegelschnittbüschel konjugierten Punkten gefundenen verschieden
ist, und welche auf analytischem Wege von Plücker[511] untersucht wurde,
sodann von Magnus (1790-1861)[512] und von unserem Schiaparelli,[513]
synthetisch aber von Seydewitz[514] und später von Reye.[515] -- Auf ein
drittes Beispiel führte die Lösung einiger Probleme aus der mathematischen
Physik; man gelangt dazu auf folgende Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein
fester Punkt, man associiert zwei mit ihm in gerader Linie gelegene Punkte,
deren Abstände von ihm umgekehrt proportional sind. Man erhält dann eine
eindeutige Korrespondenz, welche jede Gerade in einen Kreis, und jeden
Kreis wieder in einen Kreis verwandelt. Diese wurde von Sir William
Thomson[516] {82} als »Prinzip der elektrischen Bilder« studiert und ist
unter dem Namen »Transformation durch reciproke Radien« oder »Inversion«
allgemein bekannt.[517]

Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine
Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte
Magnus schon die Bemerkung, daß, wenn man eine quadratische Transformation
wiederholt, man im allgemeinen eine solche höherer Ordnung erhält.[518]
Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar
(1863), in welchem Cremona von den wenigen bisher erörterten Fällen zur
allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren
überging.[519]

{83}

Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche Cremona dieser
Theorie[520] gewidmet hat, zu zeigen, würde ich auseinanderzusetzen haben,
auf welche Weise dieser große Geometer das Studium der eindeutigen
Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven
zurückgeführt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die Lösung
eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die Anlage
meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muß ich mich darauf
beschränken, ihn davon durch den alten Beweis des »_consensus omnium_« zu
überzeugen. Dann führe ich noch die Namen von Geometern an wie Cayley,[521]
Clebsch,[522] Nöther,[523] Rosanes,[524] S. Roberts,[525] die sich bemüht
haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes unvermeidlichen) Lücken,
die sich in den Cremonaschen Abhandlungen[526] fanden, auszufüllen; ferner
die Arbeiten von Ruffini,[527] Jonquières,[528] Kantor,[529] Guccia,[530]
Autonne,[531] welche mit dieser Lehre {84} eng zusammenhängende Fragen
behandeln, endlich die von Hirst,[532] T. Cotterill[533] (1808-1881), von
Sturm,[534] Schoute[535] und sehr vielen anderen, welche sich das
bescheidenere Ziel gesetzt haben, die Verbreitung derselben durch geeignete
Beispiele und elegante Formeln zu erleichtern.[536]

Unter den Arbeiten, welche sich an die von Cremona anschließen, verdienen
eine hervorragende Stelle diejenigen von Bertini,[537] welche er den ebenen
involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch größere
Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse und andere
Begriffe, die von Caporali[538] (1855-1886) eingeführt wurden, jenem
ausgezeichneten Geometer, dessen frühen Verlust ganz Italien
betrauert.[539]

{85}

Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen
von Laguerre über solche Transformationen, welche er »Transformationen
durch reciproke Richtungen« nannte; da es nicht möglich ist, den
Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen
Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen
wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden französischen
Geometers.[540]

Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den
»isogonalen Transformationen« einen Teil, welcher sich auf die geometrische
Darstellung der komplexen Zahlen stützt und deren Nützlichkeit (welche
vielleicht grösser {86} ist für die mathematische Physik als für die reine
Geometrie) Möbius,[541] Siebeck,[542] Durège,[543] Beltrami,[544]
Vonder-Mühll,[545] F. Lucas,[546] Wedekind[547] und neuerdings
Holzmüller[548] dargethan haben.[549]

{87}

Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann man auf
verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so ziemlich von
selbst darbieten, sind folgende:

Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz
aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt
unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[550] diese
Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocität)
zwischen zwei Feldern; angegeben von Plücker, wurde dieselbe von
Clebsch[551] entwickelt und veranlaßte die Theorie der Konnexe.[552]

{88}

Wenn man dann zum Raume übergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen den
Punkten zweier Oberflächen aufstellen (insbesondere zwischen den Punkten
einer krummen Oberfläche und denen einer Ebene) oder zwischen den Punkten
zweier Räume.

Die Darstellung einer Oberfläche auf einer Ebene kann man bis ins Altertum
zurückverfolgen, da schon Hipparch und Ptolomaeus (und wahrscheinlich
andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung geographischer Karten
gestellt und Lösungen derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen
Projektion beruhen, welche man heute die stereographische nennt. -- Die
Projektion von Mercator (1512-1594), die Untersuchungen von Lambert
(1728-1777) und Lagrange, die berühmte Antwort von Gauß auf eine von der
dänischen Akademie gestellte Frage[553] zeigen, wie die täglichen
Bedürfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhörlich die Gelehrten
angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen Darstellung der
Oberfläche unseres Planeten auf einer Ebene zu beschäftigen.[554] -- Die
erste Abbildung einer Oberfläche auf einer anderen jedoch, die nur in der
Absicht gemacht wurde, um eine derselben leichter studieren zu können,
verdanken wir Gauß, der 1827 in seinen berühmten _Disquisitions generales
circa superficies curvas_ es als sehr vorteilhaft erkannte, die Punkte {89}
einer beliebigen Oberfläche den Punkten einer Kugelfläche entsprechen zu
lassen, indem man zwei solche Punkte zuordnet, deren Normalen einander
parallel sind.[555] Eine besondere Eigentümlichkeit dieser Korrespondenz
ist die, daß, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer nötig ist, nur
den Teil der Oberfläche abzubilden, den man gerade ins Auge faßt; wir
wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend übergehen, da deren
Anführung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der
zwischen der sphärischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von
Plücker,[556] Chasles[557] und Cayley[558] für das Studium der Geometrie
auf einer Fläche zweiten Grades, denen, die von Clebsch[559] und
Cremona[560] für das Studium der Geometrie auf einer kubischen Fläche, und
von denen endlich, die von späteren Geometern für die Untersuchung anderer
Flächen vorgeschlagen sind.

Die erste Arbeit, welche _ex professo_ die Theorie der Abbildungen dieser
Art behandelt, verdankt man Clebsch.[561] Die zahlreichen Beispiele, durch
welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen älteren und
späteren[562] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung
der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flächen mit vielen Einzelheiten
geführt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen {90} von
Cremona[563] und Nöther,[564] sowie die ihnen folgenden von Armenante,[565]
Klein,[566] Korndörfer,[567] Caporali[568] und von noch anderen[569] im
Verlaufe weniger Jahre diese Zahl außerordentlich vermehrt.[570] Man kann
sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der
Geometrie machen, wenn man die schöne Abhandlung von Caporali über die
dreifach unendlichen linearen Systeme ebener Kurven liest,[571] in welcher
er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberfläche auf eine Ebene auf
das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in derselben wertvolle
Hilfsmittel der Untersuchung fand.

Bei dem Studium der Abbildung einer Oberfläche bietet sich von selbst eine
wichtige Frage dar, nämlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene
abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflächen sich als Punkt für
Punkt {91} einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht
erkannte, daß die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man
natürlich auf die andere Frage geführt: Welche Oberflächen lassen sich
eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflächen
kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden? -- Die analoge Frage für
zwei (ebene oder unebene) Kurven wurde von Clebsch vermittelst der
Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln gelöst. Diese Analogie
veranlaßte nun Clebsch, die Lösung des vorhin angegebenen Problems in einer
Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflächen[572] zu
suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafürhalten nicht von gutem
Erfolge gekrönt, und auch heute muß man trotz der nach Clebsch angestellten
Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie Cayley,[573] Nöther,[574]
Zeuthen[575] die Frage als noch ungelöst betrachten; um das zu beweisen,
genügt es zu sagen, daß, wenn es auch bekannt ist, daß alle Oberflächen
zweiter und dritter Ordnung (die nicht Kegelflächen sind) eindeutig auf
einer Ebene abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflächen vierter
Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.[576] {92} Die
allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn ich
nicht irre, von Nöther[577] erhalten; dieser gelangte durch eine überaus
elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberfläche, welche eine einfach
unendliche Schar rationaler Kurven enthält, zu einer Abbildung derselben
auf einem Kegel.

Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung
gewisser Oberflächen auf eine Ebene stieß, ließen bei Clebsch den Gedanken
entstehen, zwischen einer Oberfläche und einer Ebene eine vielfache
Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die Riemannschen Flächen
denkend sagte) eine Fläche auf eine vielfache Ebene abzubilden und dann
diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[578] Diese Idee, deren Keime
sich vielleicht bis zu der von Chasles[579] vorgeschlagenen
Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurückverfolgen lassen,
konnte nicht mehr vollständig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch
blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr
entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen,
welche de Paolis aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erläutert
hat.[580]

Die zweite Verallgemeinerung der Cremonaschen Transformationen veranlaßte
die Theorie der rationalen Transformationen im Räume. Zwei Beispiele einer
solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie zweier Räume (und deren
Spezialfällen) dar und -- wie Magnus,[581] Hesse[582] und Cremona[583]
bemerkt haben -- in der Transformation, die man erhält durch drei zu
demselben Räume korrelative (reciproke) Räume, indem man jedem Punkte jenes
Raumes {93} den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in diesen entsprechen.
Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870 durch die
Bemühungen Cayleys,[584] Nöthers[585] und Cremonas,[586] obwohl schon
Magnus[587] Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen
hatte.

Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere Theorie
im allgemeinen begründeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, die wir
der Feder unseres berühmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch die
Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen Korrespondenz
zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf das Studium
der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von Oberflächen
zurückführen läßt. Darauf setzte er auf eine sehr schöne Weise auseinander,
wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten könne, wenn man die ebene
Abbildung einer Oberfläche kennt, und zeigte zuletzt durch treffende
Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen auf die
Abbildung vieler Flächen auf andere zurückführt, insbesondere auf die ebene
Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der obenerwähnten
Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer Oberfläche
nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten kann,
sondern auch unzählig viele rationale Transformationen des Raumes.

Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien so
mächtig zur Gründung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen haben, kann
man doch nicht sagen, daß dieselbe den Grad der Vollendung erreicht habe,
{94} den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, daß die
schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der
Bestimmung der Singularitäten der Oberflächen zusammenhängen, und über
diese -- wir müssen es leider gestehen -- sind unsere Kenntnisse noch sehr
beschränkt. Darin hat man vielleicht die Erklärung der Thatsache zu suchen,
daß die Geometer, die auf jene oben erwähnten folgten, sich mehr mit der
Erläuterung der Methoden ihrer Meister, als mit der Vervollkommnung
derselben und der Ausfüllung ihrer Lücken beschäftigt haben.[588] Und
dennoch -- wenn auch das Studium der Figur selbst ohne Zweifel dem der
transformierten vorzuziehen ist -- giebt es bei dem heutigen Standpunkte
der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es verdienen, daß man
sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als gerade diese. In der
That, um die Worte eines großen Mannes zu gebrauchen, »wenn man über das
Verfahren der Algebra nachdenkt und den Grund {95} der gewaltigen Vorteile
aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht man da nicht, daß sie
dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man anfänglich eingeführte
Ausdrücke Transformationen unterziehen kann, Transformationen, deren
Geheimnis und deren Mechanismus die wahre Wissenschaft bilden und die das
ständige Ziel der Analysten sind? Ist es darum nicht natürlich, zu
versuchen, in die reine Geometrie analoge Transformationen einzuführen,
welche direkt auf die vorgelegten Figuren und ihre Eigenschaften
hinsteuern?[589]

Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher
Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[590]
z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurückführung
zur ursprünglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals hintereinander
angewandt werden. Es existieren in der That auch schon einige gute
Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen behandelt sind,
welche eine Fläche zweiter Ordnung, einen linearen Komplex[591] oder eine
kubische Raumkurve[592] in sich selbst transformieren, sowie über die
cyklischen Projektivitäten.[593]

{96}

Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschließen, indem wir noch
einige Worte über die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden
zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Vorübergehen
hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von Paolis anführte. Der
erste, der sich mit ihnen beschäftigte, war Chr. Wiener,[594] welcher sie
untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte
zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes;
dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe
der Grundpunkte des Büschels zugeordnet, der durch die entsprechenden
Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen
zu erzeugen, wurde von Tognoli[595] auf den Raum ausgedehnt; derselbe ließ
jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte
desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen
entsprechenden Oberflächen eines dreifach unendlichen linearen Systemes
bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht
als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon
genannten Untersuchungen von Paolis über die doppelten Transformationen.
Das zeigen die Arbeiten, in denen Visalli[596] und Jung[597] die vielfachen
Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind.

Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich
Reye[598] und Segre[599] beschäftigt und von ihnen elegante Anwendungen
gemacht. Aschieri[600] übertrug eine spezielle ebene zweifache
Transformation, welche Paolis bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte
auch die {97} Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die
Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem
Gebiete haben wir jedoch keine außer den wenigen, die in einer kurzen
Arbeit von Reye[601] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen über die
doppelten Transformationen des Raumes von Paolis.[602] Wir zweifeln nicht,
daß diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen
Transformationen, die wir noch erwarten, dienen können; und wir erwarten
dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, daß dieselbe der Geometrie nicht
geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch die
birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie Paolis
bemerkt, die doppelten leisten können.

Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Räumen von Punkten (oder
Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume
stellen. Untersucht wurden dieselben für den Fall, daß durch jeden Punkt
die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden
Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Räume ein höheres
Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen
letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von Ameseder,[603] von
Sturm[604] und Voß[605] hervorgetreten, während Reye[606] das Verdienst
zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[607] zuerst, doch in einer
anderen Weise -- die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen,
sondern Flächen zweiter Ordnung und zweiter Klasse -- erweitert zu haben.

{98}



       *       *       *       *       *

VII.

Geometrie der Geraden.

------



Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element
aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die
Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip
der Dualität führte nun die Gelehrten zu dem Schlüsse, daß die Gerade in
der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem Erfolge,
wie der Punkt, die Rolle spielen könne, die bis jetzt dieser in der
Geometrie inne gehabt, und führte in der Folge dazu, die Gerade und die
Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues System
der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das Verdienst
dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebührt größtenteils Plücker.[608]

Aber ganz auf Plücker fällt der Ruhm, ein drittes die räumlichen Gebilde
erzeugendes Element -- die Gerade -- eingeführt und auf eine solche
Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begründet zu haben. Dieser
berühmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die
Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskräfte der Physik zu
widmen, zu der Wissenschaft zurück, die ihm ursprünglich seinen Ruhm
gesichert hatte, um sie {99} mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu
beschenken, mit »der Geometrie der Geraden«.

Die ersten Mitteilungen über diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der
Königlichen Gesellschaft zu London[609] von dem großen deutschen Geometer
gemacht wurden, enthalten die Sätze über einige allgemeine Eigenschaften
der Komplexe, Kongruenzen und Regelflächen und einige spezielle
Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[610] die Beweise
derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors,
vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume geführt werden, die er
als einen eigenen Gedanken eingeführt hatte, die man später aber als
Spezialfall dessen erkannte, was schon Cayley[611] aufgestellt hatte, um
vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume
darstellen zu können.

Diese Mitteilungen veranlaßten plötzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten, in
denen Battaglini nicht nur, was Plücker behauptet hatte, sondern auch viele
Lehrsätze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und höheren Grades
beziehen.[612] -- Indessen hatte Plücker schon die von ihm {100}
skizzierten Gedanken ausgeführt und in dem Werke vereinigt, welches den
Titel trägt: _Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der
geraden Linie als Raumelement._[613]

Von diesem Buche zu sagen, daß es in allen seinen Teilen gleich wichtig und
interessant sei, würde eine der Wahrheit nicht entsprechende Behauptung
sein. Plücker schätzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die wir durch
Lagrange, Jacobi, Hesse, Clebsch gewöhnt sind; er teilte sicherlich nicht
mit Lamé[614] die Ansicht, daß »die Bezeichnung für die Analysis das sei,
was die Stellung und Wahl der Worte für den Stil ist«; bei ihm brauchte die
Rechnung nur der einen Bedingung zu genügen, nämlich schnell zur Lösung der
ins Auge gefaßten Probleme zu führen. Dieser Mangel, der allen Arbeiten von
Plücker gemeinsam ist, macht sich lebhafter in dem letzten Werke
bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte mit Mustern der
Eleganz, wie den _Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes_ von
Hesse und den _Vorlesungen über Dynamik_ von Jacobi, die kurz vorher (1861
und 1866) herausgekommen waren. Außer diesem nicht geringen Mangel ist ein
anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, daß Plücker lange Zeit
hindurch es vernachlässigt hatte, den Fortschritten der Geometrie
nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir in seinem
Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr interessieren, da
sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen, eine große Anzahl von
Spezialfällen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht überzeugen können, eine
Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir nicht einsehen. Trotz
dieser Fehler -- die ich anführen muß, um die geringe Anzahl der Leser, die
sie heute findet, zu begründen -- kann man nicht verkennen, daß die letzte
Arbeit von Plücker reich an originellen Blicken ist, und es würde die
Lektüre derselben jedem zu raten sein, der das Studium dieses Teiles der
Geometrie unternehmen will, wenn nicht die Nachfolger {101} Plückers seine
Untersuchungen in besserer Form auseinandergesetzt und mit anderen Methoden
ausgeführt, und jene Gedanken, die er nur hingeworfen hat, größtenteils
entwickelt hätten.

Plücker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu
vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den
zweiten Teil seines Buches zu veröffentlichen; aber die Untersuchungen, die
er unvollendet zurückließ, wurden von seinem Schüler F. Klein[615] zu Ende
geführt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der
Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schöner Lehrsätze über die
Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und
außerordentlich fruchtbare Ideen über die Geometrie der Geraden. In der
That ist es Klein, der, einen Gedanken seines Lehrers präzisierend, die
Bemerkung machte, daß man die Geometrie der Geraden ansehen könne als das
Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen,
enthalten in einem linearen Raume von fünf Dimensionen, und zeigte, daß
jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer
Geraden darstellbar ist. Daß diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der
größten Bedeutung für den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien,
wurde in glänzender Weise durch die schönen Untersuchungen meines lieben
Freundes Segre[616] gezeigt, die mit denen von Klein innig zusammenhängen.

Gleichzeitig mit Klein beschäftigten sich Pasch,[617] Zeuthen,[618]
Drach,[619] später auch Paolis[620] wiederholt {102} mit der Geometrie der
Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener
Koordinaten behandelten. Clebsch[621] wandte auf diese Theorie die Methode
der abgekürzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollständigte Weiler[622]
die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen, die Klein in
seiner Dissertation angegeben hatte. Voß[623] studierte in einer Reihe sehr
wichtiger Abhandlungen die Singularitäten der Systeme von Geraden; Halphen
bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher aufgestellten
Bedingungen genügen;[624] Nöther,[625] Klein[626] und Caporali[627]
beschäftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten Grades
auf den gewöhnlichen Raum, Aschieri mit der einiger spezieller
Komplexe;[628] Lie stellte den innigen Zusammenhang, der zwischen der
Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins Licht;[629]
Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen
Komplexe.[630] Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere
Theorie von Chasles studiert[631] -- schon 1839 --, von Reye,[632] {103}
von Silldorf,[633] Schur,[634] Bertini,[635] von d'Ovidio[636] und von W.
Stahl;[637] Buchheim[638] bediente sich der Quaternionen, um die
hauptsächlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen,
während viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme
von Geraden beziehen, glücklich in einigen Abhandlungen von Mannheim,[639]
Lie,[640] Klein,[641] Picard[642] und Königs[643] gelöst wurden.
Schließlich wurden einige spezielle Komplexe studiert von Aschieri,[644]
Painvin,[645] von Reye,[646] Lie,[647] Weiler,[648] Roccella,[649] von
Hirst,[650] Voß,[651] Genty,[652] Montesano,[653] von Segre und von
mir.[654]

Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Plücker
gegebenen Anstoße verdanken, müssen wir noch eine andere ebenso glänzende
erwähnen, die aber {104} von ganz anderer Art ist. Sie umfaßt die Arbeiten
von Dupin,[655] Malus[656] (1775-1811) und Ch. Sturm[657] (1803-1855),
Bertrand,[658] Transon[659] über die Normalen von Oberflächen und über die
mathematische Theorie des Lichtes, dann die von Hamilton (1805-1865) über
Systeme von Strahlen.[660] Diese Arbeiten finden ihre Krönung in zwei
berühmten Abhandlungen, die von Kummer in den Jahren 1857 und 1866
veröffentlicht sind.

In der ersteren, die im _Journal für Mathematik_[661] abgedruckt ist, hat
sich Kummer die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere
Methode die Resultate von Hamilton darzulegen und sie in den Punkten, wo
sie mangelhaft erschienen, zu vervollständigen.[662]

In der zweiten,[663] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen
schönen allgemeinen Untersuchungen über die Zahl der Singularitäten eines
Systemes von Strahlen und seiner Brennfläche, und löste die Frage, alle
algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu bestimmen,
d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes einer oder zwei
Strahlen des Systemes hindurchgehen.

Ich möchte wünschen, daß mir hinreichender Raum zu Gebote stände, um den
Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser
klassischen Arbeit hoch {105} zu schätzen, um ihn an der tiefen Bewunderung
teilnehmen zu lassen, die ich für sie empfinde; ich möchte ihn sehen
lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser zur
Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen
weiß, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflächen darstellen (welches
jene Oberflächen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich
Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwähnen), zu den Singularitäten der
Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange zwischen
ihnen und den Singularitäten der Brennfläche u. s. w. Aber da die
Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so muß ich mich darauf
beschränken, den Wunsch auszusprechen, daß dieser mein kurzer Überblick es
bewirken könne, daß bei jedwedem das Verlangen entsteht, die Untersuchungen
Kummers selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen, den er mit
solchem Glücke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch aus, da mich
die Beobachtung schmerzlich bewegt, daß in den zwanzig Jahren, die schon
seit dem Erscheinen der Kummerschen Arbeit verflossen sind, es noch nicht
gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so fruchtbar an schönen
Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten Weise zu fördern.[664]

{106}



       *       *       *       *       *

VIII.

Nicht-Euklidische Geometrie.

------



Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschäftigen habe,
umfaßt eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen
Veranlassung gegeben haben und -- wunderbar zu sagen -- eine Zeit lang die
Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, »das eine gewappnet gegen das
andere«;[665] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des
Raumes, den man »Nicht-Euklidische Geometrie« und »Theorie der beliebig
{107} ausgedehnten Mannigfaltigkeiten« oder »Geometrie von n
Dimensionen«[666] nennt.

Jeder weiß, daß unter allen Sätzen, die in den _Elementen_ des Euklid
enthalten sind, es einen giebt,[667] der nur schlecht dazu paßt, wie es der
griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate
gestellt zu werden.[668] Derselbe ist von großer Wichtigkeit im
Euklidischen System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der
Parallelen gegründet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer
Anschauung gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Sätze zu zählen, für
welche es vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die
Frage, ob er in der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der
Fall sein sollte, ihn unterdrücken und durch einen anderen ersetzen könne,
dessen Wahrheit offenbarer sei?

Diese Fragen sind ein natürlicher Ausfluß unseres Zeitalters, von welchem
eine der hervorragendsten Eigentümlichkeiten (wie Humboldt bemerkt) die
unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit
hinterlassen hat; sie müssen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen
Geometrie angesehen werden.

Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des
vergangenen Jahrhunderts von Legendre[669] {108} gemacht. Dieselben
stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und
dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und
führten Legendre dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel
wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von
eben demselben Postulate unabhängig ist.[670]

Nahe zur selben Zeit wie Legendre, befaßte sich Gauß mit dieser Frage.
Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete
veröffentlicht; seine Korrespondenz mit Schumacher[671] und mit Wolfgang
Bolyai (1775-1856)[672] und einige bibliographische Artikel von ihm[673]
{109} bezeugen nicht nur das Interesse, das er dafür besaß, sondern
bekunden auch die reiche Ernte von Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf
den anderen von ihm bebauten Feldern eingebracht hat. Und als die Schriften
von Lobatschewsky (1793-1856)[674] und Johann Bolyai (1802-1860)[675] über
diesen Gegenstand erschienen, da sanktionierte der Fürst der deutschen
Mathematiker mit seiner Autorität die Ergebnisse, welche dieselben erhalten
hatten. Man kann diese Ergebnisse zusammenfassen, indem man sagt, daß
dieselben die Grundlage einer neuen Geometrie sind, die vollständig
unabhängig ist von dem Postulate des Euklid (die Nicht-Euklidische
Geometrie, oder imaginäre oder auch Pangeometrie), die in gewissen Punkten
mit der gewöhnlichen Geometrie übereinstimmt, jedoch in vielen anderen sich
von ihr unterscheidet, -- eine Geometrie, die eine Zeit lang einige als
absurd verbannt haben wollten, da sie den von einer nur oberflächlichen
Sinneswahrnehmung bezeugten Erscheinungen widerspricht, die aber heute
allgemein angenommen ist, da ihr logischer Wert außer Zweifel gestellt
ist.[676]

{110}

Zu diesem Siege der Logik über den übertriebenen Empirismus haben in sehr
wirkungsvoller Weise einige Schriften von großer Bedeutung beigetragen, die
Riemann (1827-1866), von Helmholtz und Beltrami in den Jahren 1867 und 1868
veröffentlichten.

Die Riemannsche Schrift: _Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen_[677] -- zwölf Jahre vor ihrer Veröffentlichung geschrieben
-- war und ist noch durch die Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit
der Form selbst für diejenigen, welche in der Mathematik schon
vorgeschritten sind, von schwierigem Verständnisse. Jedoch ein großer Teil
der Ideen, welche dieselbe enthält, verbreiteten sich sehr bald, da sie,
durch ein glückliches Zusammentreffen, auch von Helmholtz ausgesprochen
wurden, und dieser sie nicht nur den Mathematikern in rein
wissenschaftlicher Form darlegte,[678] sondern auch in populären Vorträgen
und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch außerhalb des engeren
Kreises der Geometer behandelte.[679] Keinen geringeren Einfluß aber als
die Schriften des berühmten Verfassers der _Physiologischen Optik_ übte der
klassische _Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea_[680]
von Beltrami aus. Gerade die Schärfe und analytische Eleganz, welche diese
Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der Geometer auf dieselbe;
das glänzende und überraschende Resultat, daß die Sätze der
Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den Oberflächen mit
konstanter negativer Krümmung fanden, machte einen tiefen Eindruck auch auf
diejenigen, welche jeder nicht durch das {111} Experiment bewiesenen
Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der neuen
Anschauungen; endlich -- die dort verteidigten gesunden Prinzipien einer
wissenschaftlichen Philosophie und die glänzende Form, in welcher die
Abhandlung geschrieben ist, ließen und lassen noch bei allen eine lebhafte
Bewunderung für unseren berühmten Landsmann entstehen, durch dessen
Bemühung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug.

Daß die Arbeiten dieser drei großen Gelehrten einen wohlthätigen Einfluß
auf die ganze Geometrie ausgeübt haben, hat sich zur Evidenz durch die
Änderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise vollzogen hat
wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Sätze betrachtet.[681] Wenn
früher die Geometer den Philosophen die Sorge überließen, zu entscheiden,
ob die Wahrheiten, mit denen sie sich beschäftigten, notwendige oder
zufällige seien, und dahin neigten, dieselben als notwendige zuzulassen, so
streben sie jetzt, nachdem die empirische Grundlage der Geometrie erkannt
ist, fortwährend darnach, genau festzusetzen, welche Thatsachen man der
Sinneswahrnehmung entnehmen muß, um eine Wissenschaft der Ausdehnung zu
gründen.[682] Wer die schönen _Vorlesungen über neuere {112} Geometrie_
(Leipzig, 1882) von Pasch liest, die neueren Lehrbücher prüft und diese und
jene mit den älteren Büchern vergleicht, wird wesentliche Unterschiede
finden.

In den älteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er nicht
beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den neueren
führt er sozusagen den Schüler dazu, die nötigen Erfahrungen auszuführen,
um die Prämissen der späteren Deduktionen festzustellen. In den älteren
Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als die einzig
denkbare hin, in den neueren als {113} eine der unendlich vielen, die man
aufstellen könnte. Und diese Unterschiede bezeichnen einen thatsächlichen
Fortschritt, da sie zeigen, daß die Gelehrten sich von einem
alteingewurzelten und schädlichen Vorurteile frei gemacht haben; und für
den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines Irrtums eine
nicht geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer Wahrheit.

Kurz nach der Veröffentlichung der Arbeit von Beltrami erschien eine von F.
Klein,[683] die auch von großer Wichtigkeit ist; aber um die Stellung zu
kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen
Geometrie einnimmt, muß ich mich einige Jahrzehnte rückwärts wenden.

Es ist bekannt, daß infolge des _Traité des propriétés projectives des
figures_ eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften
der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und
solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, daß unter den
ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische
Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob
es nicht möglich sei, die metrischen Eigenschaften der Figuren so
auszusprechen, daß sie bei der Projektion sämtlich erhalten werden. Für
einige Arten der Projektion haben Chasles und Poncelet die Frage gelöst,
indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des
unendlich entfernten imaginären Kreises einführten; für andere wurde die
Lösung von Laguerre[684] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels
projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Lösung in ihrer ganzen
Allgemeinheit gab, war Cayley[685] (1859), der in dem sechsten von seinen
berühmten _Memoirs upon Quantics_ zeigte, daß jede metrische Eigenschaft
einer ebenen Figur als in einer {114} projektiven Beziehung zwischen dieser
und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden könne.

Nun besteht der Hauptzweck der angeführten Abhandlung von Klein eben darin,
die innige Beziehung zwischen den Schlüssen Cayleys und denen, zu welchen
Bolyai und Lobatschewsky gelangt waren, herzustellen; auf welche lichtvolle
Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der große Ruhm, zu dem diese
Schrift alsbald gelangte.[686]

An diese Schriften schließen sich viele andere; an die von Riemann und
Beltrami einige interessante Arbeiten von de Tilly,[687] Genocchi,[688] von
Escherich[689] und Bianchi;[690] an die von Klein verschiedene Abhandlungen
von Battaglini,[691] d'Ovidio,[692] de Paolis[693] und Aschieri,[694]
Cayley,[695] Lindemann,[696] Schering,[697] von Story,[698] {115} H.
Stahl[699] und Voß,[700] von H. Cox[701] und A. Buchheim.[702]

Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr
reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[703] es hat den Anschein, als wenn
jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen könnte, und durch welches
jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der Nicht-Euklidischen
Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die unermüdlichen Arbeiter
der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder Richtung so gründlich
durchwühlt haben, daß sie keine goldführende Ader mehr bergen?



       *       *       *       *       *

IX.

Geometrie von n Dimensionen.

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Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die Geometrie
von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Unterstützung, welche die
Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf diese
anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese Unterstützung eine begrenzte,
da nur die analytischen Thatsachen, welche mit der Theorie der Funktionen
einer, zweier oder dreier Variabelen verknüpft sind (oder mit der Theorie
der binären, ternären oder quaternären Formen), einer den Sinnen
zugänglichen {116} Darstellung fähig sind. Aber der Geist der
Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der mächtigsten Antriebe
zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und noch fortwährend ist,
bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche die Natur ihrem
Vorstellungsvermögen angelegt zu haben schien, und von beliebig
ausgedehnten Räumen zu sprechen.[704]

Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen, als
mathematischen Frage beschäftigt hatten, ob in der That solche Räume
existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur so, ohne ein
vielleicht unlösbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel erreichen
konnten; durch eine kühne Einbildungskraft verschafften sie sich die
(sinnlich wahrnehmbaren oder übersinnlichen) Darstellungen vieler
analytischer Resultate.[705]

Um zu zeigen, daß man wirklich in der angegebenen Weise zu einer solchen
Theorie gekommen ist, begnüge ich mich damit, die Thatsache anzuführen, daß
dieselbe von Analysten wie Cauchy[706] (1789-1857) und Riemann[707]
aufgestellt wurde; daß sie sich noch bei vielen anderen minder bedeutenden
mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, für die Theoreme der
Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner daß Lagrange schon
Ende des vergangenen Jahrhunderts die Bemerkung machte, »daß man die
Mechanik als eine Geometrie von vier Dimensionen {117} ansehen könne«, in
welcher die Zeit als vierte Koordinate fungiert.[708]

Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem Ursprunge
und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. Plücker, dem das
Schicksal einen so wichtigen Anteil an der Förderung der modernen Geometrie
zugeteilt hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein geometrisches Gewand
zu geben, indem er beobachtete, daß man unserem Raume eine beliebige Anzahl
Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer passenden Wahl des
geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes Element des Raumes
auffaßt; so wird er drei Dimensionen haben, wenn man den Punkt oder die
Ebene wählt, vier, wenn man die Gerade oder die Kugel nimmt, neun, wenn man
die Fläche zweiten Grades nimmt, u. s. w.[709]

{118}

Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und leichter zu
begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer, als der
erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber nicht Worte genug
machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere hingegen wurde besonders
infolge der berühmten Abhandlung von Riemann, _Über die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen_, in vielen Richtungen weiter entwickelt,
und die mathematische Litteratur über diesen Gegenstand ist von einer schon
beträchtlichen Reichhaltigkeit und wächst noch von Tag zu Tag.

Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon genannten
Abhandlungen von Helmholtz, führe die von Beltrami,[710] Schläfli,[711]
Newcomb,[712] Stringham,[713] das neue Buch von Killing[714] an und die
darauf folgenden Untersuchungen von Schur,[715] die enge mit der
Riemannschen Abhandlung zusammenhängen; die Untersuchung von Betti[716]
über den Zusammenhang eines Raumes von n Dimensionen; die von
Clifford,[717] Beltrami,[718] Jordan,[719] von Lipschitz,[720] Monro,[721]
Scheeffer (1859-1885),[722] Heath[723] und Killing[724] über die Kinematik
und Mechanik eines {119} solchen Raumes;[725] ferner die von Jordan[726]
und Brunel[727] über die verschiedenen Berührungs- und Schmiegungsräume,
welche eine Kurve in einem Raume von n Dimensionen zuläßt,[728] die von
Craig[729] über die metrischen Eigenschaften der Oberflächen in einem
solchen Raume, die von Kronecker,[730] von Beez,[731] Lipschitz,[732]
Christoffel,[733] von Brill,[734] Suworoff[735] und Voß[736] über die
Krümmung eines beliebig ausgedehnten Raumes; die von Kronecker und
Tonelli[737] über das Potential; die von Lie,[738] Klein,[739] Jordan[726]
und Lipschitz[740] über die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen
Lehrsatzes; sodann die konforme Abbildung einer Oberfläche des
vierdimensionalen Raumes auf den gewöhnlichen Raum, die von Craig[741]
studiert wurde, endlich die von Lipschitz gegebene Verallgemeinerung des
berühmten Problemes der drei Körper.[742] Zum Schlusse wollen {120} wir die
Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser Begriffe,
einiger Sätze und Formeln der elementaren Geometrie, die vorzüglich von
Rudel,[743] Hoppe,[744] Schlegel[745] und Mehmke[746] gemacht sind; dazu
gehören auch die Untersuchungen von Stringham,[747] Hoppe,[748]
Schlegel,[749] Scheffler,[750] Rudel,[751] O. Biermann,[752] Puchta[753]
und anderen über die regulären Körper des vierdimensionalen Raumes, die
soweit gediehen, daß sie Schlegel gestatteten, Modelle der Projektionen
dieser Körper auf unseren Raum herzustellen.[754]

Außer dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den
Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche
projektiv ist, während die erstere wesentlich metrisch ist.--Eine kurze
Andeutung, {121} die von Cayley im Jahre 1846 gegeben wurde[755] über eine
Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu
untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung
hinwies. Aber es scheint, wie Bailly[756] bemerkt hat, »daß die Ideen, wie
wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwäche haben; sie sind nicht
von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und mit der
Zeit ihre Fruchtbarkeit«. Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre
verfließen, ehe der geniale Gedanke des großen englischen Geometers, in der
richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Räume von n
Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief.

Als Einleitung zu derselben muß man die wichtige Arbeit von Clifford
ansehen: _On the classification of loci_,[757] in welcher das allgemeine
Studium der Kurven in beliebigen linearen Räumen in Angriff genommen ist;
jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche
Erweiterungen derer sind, die man in der gewöhnlichen projektiven Geometrie
zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, daß dieser neue Zweig der
Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die Veronese der _Behandlung der
projektiven Eigenschaften der Räume von_ n _Dimensionen durch die
Prinzipien des Schneidens und Projizierens_ gewidmet hat.[758] In derselben
läßt der berühmte Verfasser, Riemann folgend, einen Raum von n Dimensionen
entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine Dimension weniger
hat, von einem außerhalb gelegenen Punkte projiziert, und {122} indem er
sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur Erweiterung des
grösseren Teiles der Theorien der gewöhnlichen Geometrie der Lage.[759] Die
Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung erörterten Prinzipien
wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die Fortsetzung derselben
bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch von Tag zu Tag ein
Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende Stelle einnimmt. Unter
ihnen will ich -- abgesehen von denen, die Veronese selbst publiziert
hat,[760] -- die Untersuchungen von Segre anführen über die Theorie der
quadratischen Gebilde in einem Raume von n Dimensionen und ihre Anwendung
auf die Geometrie der Geraden,[761] über die kollinearen und reciproken
Korrespondenzen,[762] über die Büschel von Kegeln zweiten Grades,[763] über
die Regelflächen,[764] über die Oberflächen vierter {123} Ordnung mit
Doppelkegelschnitt[765] und über die Theorie der Systeme von
Kegelschnitten,[766] dann die von Bertini[767] und Aschieri,[768] die
verwandte Gegenstände behandeln; die Schriften von del Pezzo über die
Oberflächen in einem n-dimensionalen Raume.[769] Noch viele andere müßte
ich nennen, aber

  Io non posso ritrar di tutti appieno;
  Perocchè sì mi caccia il lungo tema,
  Che molte volte al fatto il dir vien meno.[770]

Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten
könnte, sind die -- viel früher als die von Veronese erschienenen -- von
Nöther über die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen
Räumen (1869, 1874),[771] jene ebenfalls älteren von Halphen (1875) über
die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume
enthalten sind,[772] von d'Ovidio {124} über die Metrik eines solchen
Raumes (1876),[773] endlich die neuerlichen von Schubert über die
abzählende Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.[774]



       *       *       *       *       *

Schluss.

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Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu
beschließen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen
derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die
von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So
konnte ich nicht über die Theorie der projektiven Koordinaten berichten,
die von Chasles[775] erhalten wurden, als er die gewöhnlichen Cartesischen
Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von
Staudt[776] aufgestellt wurde und vollständiger von Fiedler;[777] {125}
dann habe ich nicht über die Methode der symbolischen Bezeichnung
berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck für den Geometer ist; die Theorie
der Berührungstransformationen (Lie) und der Differential-Invarianten
(Halphen) habe ich stillschweigend übergangen, da sie auf der Grenze
zwischen der Geometrie und der Theorie der Differentialgleichungen stehen;
über die sogenannte _Analysis situs_ habe ich mich einer Besprechung
enthalten, da eben diese Lehre von Riemann geschaffen und von seinen
Schülern betrieben wurde, um Probleme der Funktionentheorie zu lösen. Dann
haben sich meiner Darlegung die schönen Auseinandersetzungen von Battaglini
und Ball entzogen über die Kräfte und Bewegungen,[778] von Chasles,
Aronhold, Mannheim und Burmester über die kinematische Geometrie und von
Reye über die Trägheitsmomente, da sie bisher[779] mehr zur Mechanik als
zur Geometrie gehörig angesehen wurden. Gleiches gilt von den interessanten
Experimenten Plateaus (1801-1883) in bezug auf die Minimalflächen, deren
Besitz die Physiker für sich beanspruchen, von den schönen Untersuchungen
über die Polyeder (Möbius, Bravais, Jordan, Heß), welche den Übergang von
der Geometrie zur Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten über die
geometrische Wahrscheinlichkeit (Crofton, Czuber, Cesàro), welche ich
geneigt wäre unter die Anwendungen der Geometrie zu rechnen. Dann habe ich
nicht über die Methode der Äquipollenzen gesprochen (Bellavitis) und die
Theorie der Quaternionen (Hamilton), da beide sich bis jetzt noch {126}
nicht von so großer Fruchtbarkeit erwiesen haben, um als notwendiges
Hilfsmittel des Geometers angesehen zu werden.

Ungern mußte ich hinweggehen über die Theorie der Kugelsysteme, die mit
großem Erfolge von Lie und Reye bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf
die Theorie der Konfigurationen werfen können (Reye, Kantor, Jung,
Martinetti), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen
ist, und auf die mehr den Elementen angehörige Erweiterung der Lehre vom
Dreiecke, zu welcher Arbeiten von Brocard[780] die Anregung gegeben haben.
Kurz erwähnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen über Maximal-
und Minimalfiguren, von denen die einen (Painvin, P. Serret, Lebesgue,
Borchardt, Kronecker) das Problem von Lagrange, das Tetraeder größten
Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflächen gegeben sind, und
Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,[781] die anderen
(Lindelöf, Berner, Edler, Sturm, Schwarz, Lange, Certo) sich an die
berühmten Aufsätze von Steiner[782] anschließen.[783]

Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen übergangen werden, daß es unserem
Jahrzehnte vergönnt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des Kreises
zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen Jahrhundert
Lambert[784] die Zahl [pi] als irrational nachgewiesen, verblieb immer noch
der Nachweis, daß [pi] auch nicht Wurzel {127} einer algebraischen
Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit ist dargethan,
daß die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer endlichen Anzahl von
Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des Zirkels ausführbar
sind, vollzogen werden könne. Dieser Beweis wurde, unter Benutzung
Hermitescher Vorarbeiten über die Exponentialfunktion, 1882 von
Lindemann[785] erbracht.

Trotz der aufgezählten und unzähliger anderer Unvollkommenheiten des
Bildes, das ich über den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen
versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe
wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein über die
gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fünfzig Jahren,
sondern auch über die neue, schönere, verlockendere Gestalt, welche sie
mehr und mehr annimmt.

Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, leblos
erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die Theorie der
geometrischen Transformationen, vermöge derer sie sich bewegen, sich in
einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthüllen und unter sich
bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen.

Ferner glaubte man eine Zeit lang, daß wir als dreidimensionale Wesen, die
in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen
können, dazu verurteilt wären, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht
mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und
fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefährlichen Vorurteile uns
frei zu machen, und die Fülle von Arbeiten, die wir vor uns bewundern,
belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der neuen Sonne
wegwenden wollen, über die Wichtigkeit dieses Fortschrittes.

Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der
Analysis, der sich gegen Ende des {128} vergangenen Jahrhunderts erhoben
und zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr beendigt; weder die eine,
noch die andere hat den Sieg davon getragen, aber jede hat auch den
Ungläubigsten gezeigt, daß sie bei jeglichem Ringen als Siegerin
hervorgehen könne. Der _Mécanique analytique_, in welcher Lagrange mit
Freuden konstatierte, daß er es soweit gebracht habe, jegliche Figur zu
vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen glänzenden Bescheid gegeben,
welches das Motto trägt: »_Geometrica geometrice_«; dem hundertjährigen
Dienste, welchen die Algebra der Geometrie bot, können sich heute die
zahllosen und unvergleichlichen Vorteile entgegenstellen, welche jene von
dieser zog; schließlich wird man doch an Stelle der analytischen oder
pseudosynthetischen Theorie der Kurven und Oberflächen in Kurzem die rein
synthetische Theorie setzen können, die man gegenwärtig aus dem von
Staudt[786] gelieferten Materiale errichtet.

Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers der
Analysis und Geometrie müssen sich alle Glück sagen, da jeder Fortschritt
der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu
{129} auffordert. Das entspricht dem heutigen Standpunkte der gesamten
Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie Spencer sagt, die verschiedenen
Disziplinen als Hilfskünste, die einen für die anderen.

Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit
Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, nämlich die, nicht
die eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die andere
zu vernachlässigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der Zahlen
ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.[787]

Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen, dazu
hilft uns die Betrachtung, »daß die Analysis und Synthesis im Grunde
genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und zusammen
das vollständigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden. Denn unser
Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von Zeichen oder
Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen einzudringen
sucht, so hat er nicht einen Überfluß an diesen beiden Mitteln und jener
besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem Zusammenwirken
schöpft.«[788]

Indem wir uns also der Beschränktheit unserer Kräfte bewußt sind, werden
wir nur ein kleines Feld wählen, auf dem wir unsere Thätigkeit üben, aber
nicht vergessen, daß {130} wir, um alle Früchte, die es zu bieten fähig
ist, einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle die
Hilfsmittel prüfend anzuwenden, welche der menschliche Geist während so
vieler Jahrhunderte unausgesetzter Thätigkeit angehäuft hat, und die jedem
zu Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und das
Geschick, sie anzuwenden.



       *       *       *       *       *

Abkürzungen für die häufig erwähnten Zeitschriften.

------



  _Acta math._: Acta mathematica.

  _Amer. Journ._: American Journal of Mathematics pure and applied.

  _Ann. Éc. norm._: Annales scientifiques de l'École normale supérieure.

  _Annali di Matem._: Annali di Matematica pura ed applicata.

  _Berliner Abh._: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Akademie
        der Wissenschaften zu Berlin.

  _Berliner Ber._: Monatsberichte, bez. seit 1882 Sitzungsberichte oder
        auch: Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen derselben
        Akademie.

  _Bologna Mem._: Memorie     } dell' Accademia di Scienze dell' Istituto
  _Bologna Rend._: Rendiconti }               di Bologna.

  _Bull. sciences math._: Bulletin des sciences mathématiques (bis 1884:
        et astronomiques).

  _Bull. Soc. math._: Bulletin de la Société mathématique de France.

  _Cambridge Journ._: Cambridge and Dublin mathematical Journal.

  _Cambridge Proc._: Proceedings   } of the Philosophical Society of
  _Cambridge Trans._: Transactions }           Cambridge.

  _Comptes rendus_: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie
        des sciences (de Paris).

  _Gergonnes Ann._: Annales de Mathématiques.

  _Giorn. di Matem._: Giornale di Matematiche.

  _Göttinger Abh._: Abhandlungen      } der Gesellschaft der Wissenschaften
  _Göttinger Nachr._: Nachrichten von }            zu Göttingen.

  _Grunerts Arch._: Archiv der Mathematik und Physik.

  _Journ. Éc. polyt._: Journal de l'École polytechnique.

  _Journ. für Math._: Journal für die reine und angewandte Mathematik.

  _Irish Proc._: Proceedings   } of the Irish Academy.
  _Irish Trans._: Transactions }

  {131}
  _Leipziger Ber._: Berichte über die Verhandlungen der Gesellschaft der
        Wissenschaften zu Leipzig.

  _Lincei Atti_: Atti        }
  _Lincei Mem._: Memorie     } dell' Accademia dei Lincei.
  _Lincei Rend._: Rendiconti }
  _Lincei Trans._: Transunti }

  _Liouvilles Journ._: Journal de Mathématiques pures et appliquées.

  _Lombardo Rend._: Rendiconti dell' Istituto Lombardo di scienze e
      lettere.

  _Math. Ann._: Mathematische Annalen.

  _Mém. prés._: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des
        sciences (de Paris).

  _Münchener Abh._: Abhandlungen     } der Akademie der Wissenschaften
  _Münchener Ber._: Sitzungsberichte }          zu München.

  _Napoli Rend._: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e
        matematiche di Napoli.

  _Nouv. Ann._: Nouvelles Annales de Mathématiques.

  _Phil. Mag._: London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine.

  _Phil. Trans._: Philosophical Transactions } of the Royal Society of
  _Proc. Roy. Soc._: Proceedings             }        London.

  _Prager Abh._: Abhandlungen     } der böhmischen Gesellschaft der
  _Prager Ber._: Sitzungsberichte }       Wissenschaften.

  _Proc. math. Soc._: Proceedings of the London mathematical Society.

  _Quart. Journ._: Quarterly Journal of pure and applied Mathematics.

  _Torino Atti_: Atti    } dell' Accademia delle scienze di Torino.
  _Torino Mem._: Memorie }

  _Wiener Ber._: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen
        Klasse der Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung.

  _Zeitschr. f. Math._: Zeitschrift für Mathematik und Physik.

------

Die arabische Ziffer bezieht sich auf den Band (Teil, Jahrgang), beim
_Journ. Éc. polyt._ auf das Heft, die römische auf die Serie (Reihe).

{132}



       *       *       *       *       *

Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist.

------



Die Zahl ist die der Seite, auf welcher sie steht.

Abel 20 -- d'Alembert 14 -- Apollonius 6 -- Archimedes 6 -- Aronhold 31.

Baltzer 53 -- Bellavitis 60 -- Benedetti 9 -- Bobillier 26 -- Bolyai, J.
109 -- Bolyai, W. 108 -- Borchardt 43 -- Bour 56 -- Bragelogne 24 --
Braikenridge 22.

Caporali 84 -- Cardano 8 -- Carnot 14 -- Cauchy 116 -- Chasles 17 --
Chelini 57 -- Clairaut 13 -- Clebsch 27 -- Clifford 26 -- Cotterill 84 --
Côtes 21 -- Cramer 22 -- Crelle 20.

Desargues 9 -- Descartes 10 -- Dirichlet 119 -- Dupin 15.

Enneper 50 -- Eratosthenes 6 -- Euler 13.

Ferrari 8 -- Fermat 9 -- Ferro 8 -- Fibonacci 8.

Gauß 47 -- Gergonne 16 -- La Gournerie 44 -- Graßmann 26 -- De Gua 22.

Hachette 15 -- Halley 11 -- Hamilton 104 -- Harnack 63 -- Hesse 25 --
Hipparch 6 -- La Hire 11 -- Hoüel 109 -- Huygens 11.

Jacobi 16 -- Joachimsthal 55.

Lacroix 15 -- Lagrange 14 -- Laguerre 40 -- Lamarle 125 -- Lambert 88 --
Lamé 23 -- Lancret 72 -- Laplace 14 -- Legendre 14 -- Leibniz 11 --
Liouville 72 -- Lobatschewsky 109.

Mac Cullagh 33 -- Maclaurin 11 -- Magnus 81 -- Mascheroni 9 -- Mercator 88
-- Möbius 18 -- Monge 13.

Newton 11.

Oresme 16.

Pappus 6 -- Parent 13 -- Pascal 9 -- Plateau 125 -- Plato 5 -- Plücker 19
-- Poisson 14 -- Poncelet 14 -- Ptolomaeus 6 -- Puiseux 72 -- Pythagoras 5.

Richelot 16 -- Riemann 110.

Saint-Venant 72 -- Scheeffer 118 -- Schooten 13 -- Serret, A. 50 --
Seydewitz 33 -- Simpson 11 -- Smith 29 -- Snellius 16 -- Spottiswoode 124
-- Staudt 19 -- Steiner 18 -- Stewart 11 --Sturm, Ch. 104.

Tartaglia 8 -- Thales 4 -- Transon 81.

Vieta 9.

Waring 22 -- Wren 32.

       *       *       *       *       *

Berichtigung. S. 97 Z. 7 v. o. lies viel- statt zwei-.



       *       *       *       *       *

Noten.

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[1] »It is difficult to give an idea of the vast extent of modern
mathematics. This word »extent« is not the right one: I mean extent crowded
with beautiful detail -- not an extent of mere uniformity such as an
objectless plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the
distance, but which will bear to be rambled through and studied in every
detail of hillside and valley, stream, rock, wood and flower.« (Rede von
Cayley i. J. 1883 vor der »British Association for the Advancement of
Science« gehalten.)

Bei dieser Gelegenheit führen wir noch folgendes Urteil von E.
Dubois-Reymond über den Charakter der modernen Wissenschaft an: »Nie war
die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen,
nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine grössere Einheit
dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewußter, mit gewaltigeren Methoden
voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere
Wechselwirkung statt.« (_Über die wissenschaftlichen Zustände der
Gegenwart_, Reden, Bd. II, S. 452.)

[2] _Histoire des sciences mathématiques en Italie_ par G. Libri, 1838. Bd.
I, S. 3.

[3] Hankel, _Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten_
(Tübingen. II. Aufl. 1885). S. 7.

[4] Diese Thatsache könnte man als ein neues Moment ansehen, wie sich --
nach einem berühmten Ausspruche Humboldts -- der Einfluß, den die
tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen
Untersuchungen ausüben, geltend macht.

[5] Vgl. Emil Weyr, _Über die Geometrie der alten Ägypter_ (Wien, 1881).

[6] Für die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier
niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den _Vorlesungen über die Geschichte
der Mathematik_ von M. Cantor (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste
Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das
Todesjahr.

[7] In Bezug auf größere Einzelheiten sehe man Bretschneider, _Die
Geometrie und die Geometer vor Euklides_ (Leipzig, 1870).

[8] Betti und Brioschi, Vorrede zu _Gli elementi di Euclide_ (Florenz,
1867). Eine gegenteilige Ansicht hat Lacroix in seinem wohlbekannten Buche
_Essais sur l'enseignement en général et sur celui des mathématiques en
particulier_ (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen.

[9] Um zu zeigen, wie glänzend und bewunderungswürdig die noch immer
verkannte griechische Mathematik gewesen sein muß, genüge es, die Thatsache
anzuführen, daß die Theorie der Kegelschnitte, ein hauptsächlicher
Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu solcher Vollendung
gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges hinzuzufügen hätte, um
sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich heute befindet. Die
Bewunderung für jene wird noch jeden Tag grösser durch die historischen
Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Zeuthen (s. das Werk _Die Lehre
von den Kegelschnitten im Altertume_, deutsch von Fischer-Benzon.
Kopenhagen, 1886), P. Tannery (s. _Bull. des sciences math._ und _Mém. de
la Société de Bordeaux_) und andere], welche das Vorurteil zu beseitigen
suchen, daß die Griechen keine Untersuchungsmethoden gehabt hätten, die
vergleichbar sind mit denen, auf welche unsere Zeit so stolz ist, und die
als Ersatz dafür die Ansicht aufzustellen streben, daß es ihnen nur an den
nötigen Formeln zur Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe.

[10] Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der berühmte
Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit
geschrieben hat, anzuführen: »...... mais bientôt le Romain arrive, il
saisit la science personnifiée dans Archimède, et l'étouffe. Partout où il
domine la science disparaît: l'Étrurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si
plus tard Rome n'ayant plus d'ennemis à combattre se laisse envahir par les
sciences de la Grèce, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle
les lira et les traduira sans y ajouter une seule découverte. Guerriers,
poètes, historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique,
quel théorème de géométrie devons-nous aux Romains?« (Libri a. O. S. 186.)

Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik hielten,
genüge es mitzuteilen (vgl. Hankel, _Zur Geschichte der Mathematik im
Altertum und Mittelalter_, Leipzig, 1874. S. 103), daß sie dieselbe oft mit
Astrologie und den verwandten Künsten zusammenwarfen. Es darf uns daher
nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians unter den gesammelten
Bestimmungen unter dem Titel »De maleficis et mathematicis et ceteris
similibus« folgendes finden: »Ars autem mathematica damnabilis interdicta
est omnino.« Wenn man in demselben Codex etwas weiter die Wendung findet:
»Artem geometriae discere atque exercere publice interest,« so muß man sich
hüten, sie als eine Übersetzung des Ausspruches Napoleons I. anzusehen:
»L'avancement, le perfectionnement des Mathématiques sont liés à la
prospérité de l'État,« denn es ist fast sicher, daß der römische
Gesetzgeber den praktischen Teil der Geometrie meinte.

[11] Unter den Fragen der Geometrie, welche die italienischen Gelehrten des
16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger
Wichtigkeit, da sie die _»Geometria del compasso«_ (Geometrie des Kreises)
entstehen ließen, welcher gerade in dieser Zeit Benedetti (?-1590) eine
Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von Mascheroni (1750-1808) und
Steiner gepflegt wurde.

[12] Pascal entdeckte an der Cykloide eine Fülle bemerkenswerter
Eigenschaften, wies auf die Perspektivität als eine für das Studium der
Kegelschnitte sehr günstige Methode hin, bewies den berühmten Lehrsatz von
dem »Hexagramma mysticum,« wie er es nannte, u. s. w.

Desargues führte die gemeinsame Betrachtung der drei Kegelschnitte ein, den
wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den Begriff
der Involution von sechs Punkten, löste mehrere wichtige Fragen, die sich
auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w.

In den Werken von Desargues (vgl. die von Poudra 1864 besorgte Ausgabe)
findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive
Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, daß man
dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet
betrachteten die Schlüsse, die auf einer solchen Substitution beruhen, als
der Strenge entbehrend (vgl. _Traité des proprietés projectives_, Bd. II,
S. 128). Jedoch wurde das von Desargues vorgeschlagene Verfahren in der
neueren Zeit wiederholentlich von demselben Poncelet (a.a.O. Bd. I, S.
374), von Jonquières (in verschiedenen Abhandlungen in den _Annali di
Matem., Journ. f. Math._ und in den _Math. Ann._), von Cremona (s. die
_Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane_) gebraucht, und
gehört heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem »Prinzip
der Erhaltung der Anzahl« verdanken.

[13] Vgl. E. Dubois-Reymond, _Kulturgeschichte und Naturwissenschaft_, in
den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208.

[14] Favaro, _Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni.
Memorie di Modena_, 18, 1879.

Matthiessen, _Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen
Gleichungen_ (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt.

[15] Über den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man Günther, _Die
Anfänge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes_
(_Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nürnberg_, 6) und über
Cartesius die Rede von Jacobi, ins Französische übersetzt und
veröffentlicht in _Liouvilles Journ._ 12 unter dem Titel: _De la vie de
Descartes et de sa méthode pour bien conduire la raison et chercher la
vérité dans les sciences._

[16] Siehe z. B. den _Traité de la lumière_ (Leyden, 1691).

[17] _Sectiones conicae in novem libros distributae_ (Paris, 1685),
_Mémoires sur les Epicycloides_ (_Anciennes Mémoires de l'Académie des
sciences,_ 9), _Traité des roulettes_ etc. (ebendas., 1704).

[18] Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken nach,
sowie seine Versuche, verloren gegangene Bücher (wie das achte Buch von
Apollonius' Kegelschnitten) wieder herzustellen.

[19] Vergl. sein Buch _A complete System of Fluxions_ (Edinburgh, 1742).

[20] _Treatise on conic Sections_ (1735).

[21] _General theorems of considerable use in the higher parts of
mathematics_ (Edinburgh, 1746); _Propositiones geometricae more veterum
demonstratae_ (Edinburgh, 1763).

[22] Hinsichtlich der von Simpson und Stewart gemachten Versuche, die
griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man Buckle,
_Geschichte der Civilisation in England_ (deutsch von A. Ruge), Bd. I,
Kap. 5.

[23] Die von den Griechen hauptsächlich untersuchten Kurven sind: der
Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale,
die Diokles'sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des
Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige
andere. Zu diesen fügten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und die
Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide, die
Hypo- und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, die
Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzählige andere.

[24] Siehe das fünfte Buch seiner _Exercitationes geometriae._

[25] Parent, _Essai et Recherches de Mathématiques et de Physique_
(II. Aufl. 1713), Bd. 2.

[26] _Traité de Courbes à double courbure._ 4

[27] _Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.)._

[28] Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris (1784);
_Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie_ (Paris, 1795), oder
_Applications de l'Analyse à la Géométrie_ (Paris, 1801).

[29] Ausspruch von d'Alembert.

[30] _Leçons de géométrie descriptive_ (Paris, 1794).

[31] In Bezug auf Monge sehe man Dupin, _Essai historique sur les services
et les travaux scientifiques de Gaspard Monge_ (Paris, 1819); Arago,
_Notices biographiques._

Über die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der darstellenden
Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des Werkes von Chr.
Wiener, _Lehrbuch der darstellenden Geometrie_ (Leipzig, 1884, 1887), in
welchem der Studierende eine Menge interessanter Einzelheiten finden wird,
sei es über die Studien, welche diese Disziplin vorbereiteten, sei es über
die Untersuchungen, welche die Nachfolger von Monge gemacht haben.

Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner
Kollegen [unter anderen Lacroix (1765-1843) und Hachette (1769-1834)],
sowie viele von seinen Schülern an der polytechnischen Schule. Der Kürze
halber beschränke ich mich darauf, den anzuführen, »der über die anderen
wie ein Adler fliegt«, Charles Dupin (1784-1873), vorzüglich wegen seiner
klassischen _Développements de géométrie_ (1813), die noch von allen
gelesen werden müssen, welche auch nur eine mäßige Kenntnis des heutigen
Zustandes der Geometrie erlangen wollen.

[32] Monge's Einfluß läßt sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken; zum
Beweise genüge es, die Idee anzuführen, die Schranken, durch welche die
Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten, niederzureißen,
und den glücklichen Versuch, den neuerdings (1884) De Paolis in seinen
goldenen _Elementi di Geometria_ (Turin) gemacht hat, dieselbe auszuführen.

[33] »La Géométrie de position de Carnot n'aurait pas, sous le rapport de
la métaphysique de la Science, le haut mérite que je lui ai attribué,
qu'elle n'en serait pas moins l'origine et la base des progrès que la
Géométrie, cultivée à la manière des anciens, a fait depuis trente ans en
France et en Allemagne« (Arago, _Biographie de Carnot_).

[34] Zweite Auflage, 1865, 1866.

[35] Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C.
Taylor, _On the history of geometrical continuity_ (_Cambridge Proc._, 1880
und 1881).

[36] _Doctrina triangulorum canonicae_ u. s. w. (Leyden, 1627).

[37] _Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII._ (Opera
Vietae, 1646).

[38] _Gergonnes Ann._ 17.

[39] Jacobi, _Journ. für Math._ 3; Richelot, das. 5, 38; Rosanes und Pasch,
ebendas. 64; Léauté, _Comptes rendus_, 79; Fergola, Padeletti und Trudi,
_Napoli Rend._ 21; Simon, _Journ. für Math._ 81; Gundelfinger, das. 83;
Halphen, _Liouvilles Journ._ III, 5; _Bull. de la Soc. philom._ VII, 3. Man
sehe auch die interessante Abhandlung von Hurwitz: _Über
unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere über die
Schliessungsprobleme_ (_Math. Ann._ 15) und die Note von Forsith, _On in-
and circumscribed polyhedra_ (_Proc. Math. Soc._ 1883).

[40] In deutscher Übersetzung von Sohncke: _Geschichte der Geometrie,
hauptsächlich in Bezug auf die neueren Methoden_ (Halle, 1839), jedoch ohne
das _Mémoire sur deux principes généraux de la science_ (vgl. die folgende
Note). Das französische Original erschien 1875 in 2. Auflage.

[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von Chasles bilden, verdient eine
besondere Erwähnung die Abhandlung (für welche ursprünglich der _Aperçu
historique_ als Einleitung dienen sollte) _Sur deux principes généraux de
la Science_, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation)
und der Reciprocität enthält, sowie die Untersuchung der beiden Fälle, in
welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser Transformationen
auf das Studium der Flächen zweiten Grades und der geometrischen
Oberflächen überhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des cartesischen
Koordinatensystems. Auch müssen noch die _Noten_ erwähnt werden, da sie
eingehende historische Studien und geometrische Untersuchungen von großer
Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will ich diejenigen anführen, in
denen die Theorie des Doppel- oder anharmonischen Verhältnisses und der
Involution, die anharmonischen Eigenschaften der Kegelschnitte, die
Fokaleigenschaften der Flächen zweiten Grades, viele Lehrsätze über die
kubischen Raumkurven, glückliche Versuche, die Sätze von Pascal und
Brianchon auf die Flächen zweiten Grades auszudehnen, eine
Verallgemeinerung der stereographischen Projektion u. s. w.
auseinandergesetzt sind.

[42] Dieser Übergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit
einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen Poncelet, Chasles
und Bobillier zu Gegnern hatten Plücker, Steiner und Magnus und deren
Hauptschauplatz das _Bulletin_ von Férussac war. -- Hier würde es am Orte
sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den
Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafür würde
die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin, nötig
sein. Im Übrigen sind nach meinem Dafürhalten gewisse Produktionen der
menschlichen Intelligenz eine natürliche Frucht ihrer Zeit; daher darf es
nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Köpfen
hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklärung dieser
Thatsache in der »mala fides« dieses oder jenes zu suchen. Daß solches
wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht
heute außer allem Zweifel. Daß dies ebenso bei der modernen Geometrie
eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, daß dieselbe hervorgegangen
ist aus einem allseitig gefühlten Bedürfnisse (man vergleiche dazu den
Ausspruch Dupins _[Développements de géométrie]_, der als Motto auf dem
_Traité des propriétés projectives des figures_ steht, mit der Vorrede der
_Systematischen Entwickelung_ und mit dem _Aperçu historique_ an
verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden
dienen sollten zur Führung in dem Labyrinthe von Hilfssätzen, Lehrsätzen,
Porismen und Problemen, die von den Vorfahren überliefert sind.

[43] Die hauptsächlichste Arbeit von Möbius auf dem Gebiete der reinen
Geometrie ist die mit dem Titel: _Der barycentrische Calcul_ (Leipzig,
1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse über den Schwerpunkt
(Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen
Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese führt zu einem neuen
Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und
ebenen Kurven und der Oberflächen der Verfasser darlegt. In demselben
werden ferner methodisch und in großer Ausführlichkeit wichtige
geometrische Transformationen, die heute noch fortwährend Anwendung finden,
betrachtet. Viele spätere Abhandlungen von Möbius sind als Anhänge zum
barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten Bände der
_Gesammelten Werke_ von Möbius, herausgegeben auf Veranlassung der
Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)

[44] Ich meine das Werk: _Systematische Entwickelung der Abhängigkeit
geometrischer Gestalten von einander_ (Berlin, 1832), in dem »der
Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten
Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind«. -- Die späteren
Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das
angeführte Werk stützen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben dazu
hatte, den Inhalt durch die schon angeführten Worte zu charakterisieren.
Steiners _Gesammelte Werke_ sind auf Veranlassung der Akademie der
Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882).

[45] Des Näheren will ich hier nur die drei Bücher anführen:
_Analytisch-geometrische Entwickelungen_ (Essen, 1828-1831), _System der
analytischen Geometrie_ (Berlin, 1835), _Theorie der algebraischen Kurven_
(Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhängenden Abhandlungen, die in
_Gergonnes Ann._ und im _Journ. für Math._ veröffentlicht sind.

[46] Das Werk, in welchem Staudt sein System der Geometrie dargelegt hat,
wurde im Jahre 1847 zu Nürnberg veröffentlicht unter dem Titel: _Geometrie
der Lage_. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die Ursache
der großen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben stieß; heute
erst sind, dank den von Reye (in erster Auflage 1866-1868 erschienenen und)
unter demselben Titel veröffentlichten Vorlesungen die in demselben
enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie beschäftigen. In
Italien wird jetzt zuerst von allen Ländern eine Übersetzung desselben
angefertigt.

Nicht weniger wichtig sind die _Beiträge zur Geometrie der Lage_ (in 3
Heften), welche Staudt seiner _Geometrie der Lage_ 1866-1860 folgen ließ.
Wir beschränken uns darauf, hervorzuheben, daß dort die einzige strenge,
allgemeine und vollständige Theorie der imaginären Elemente in der
projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in
verschiedener Weise von mehreren Geometern, Lüroth (_Math. Ann._ 8, 11),
August (_Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin_, 1872) und Stolz
(_Math. Ann._ 4) erläutert; über die eng mit ihr zusammenhängende Rechnung
mit den »Würfen« sehe man außer den erwähnten Abhandlungen von Lüroth noch
zwei Arbeiten von Sturm _(Math. Ann._ 9) und Schröder (ebendas. 10).

[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkürlich; vielleicht wird
mancher, indem er bedenkt, daß gewisse Theorien mit demselben Rechte zu
mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehören können, dieselbe
unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, daß die meisten nach
reiflicher Prüfung des besprochenen Gegenstandes finden werden, daß die von
mir gewählte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.

[48] Côtes, _Harmonia mensurarum_ (1722); Maclaurin, _De linearum
geometricarum proprietatibus generalibus tractatus_. (Ins Französische
übersetzt von de Jonquières und seinen _Mélanges de Géométrie pure_ [Paris,
1856] angehängt.)

[49] _Miscellanea analytica_ etc. (1762); _Proprietates geometricarum
curvarum_ (1772); _Phil. Trans._ 1763-1791.

[50] _Geometria organica_ (1720).

[51] _Phil. Trans._ 1735; _Exercitationes Geometriae de descriptione
linearum curvarum_ (1733).

[52] Übrigens hat, wie C. Taylor (_Cambridge Proc._ 3) bemerkte, Newton
selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der
_Enumeratio linearum tertii ordinis_ auf Kurven höherer Ordnung ausgedehnt.

[53] _Usage de l'analyse de Descartes_ (1740).

[54] _Introductio in analysin infinitorum_. 2. Bd.

[55] _Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques_.

[56] Kurz vor der Veröffentlichung des Cramerschen Werkes fand Euler (man
sehe die _Berliner Abh._ 1748), daß von den neun Grundpunkten eines
Büschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht übrigen
bestimmt ist.

[57] _Gergonnes Ann._ 17, 19.

[58] _Journ. für Math._ 16; _Theorie der algebraischen Curven_ (wo S. 12-13
sich eine kurze Geschichte dieser Sätze findet).

[59] _Journ. für Math._ 15.

[60] _Cambridge Journ._ 3; vgl. Bacharach, _Math. Ann._ 26.

[61] Riemann, _Journ. für Math._ 54; Clebsch, das. 58; Roch, ebendas. 64;
Clebsch und Gordan, _Theorie der Abelschen Funktionen_ (Leipzig, 1866);
Brill und Nöther, _Über die algebraischen Funktionen_ u. s. w. (_Math.
Ann._ 7); Cremona, _Bologna Mem._ 1870; Casorati, Cremona und Brioschi,
_Lombardo Rend._ II, 2.

[62] In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem »Prinzipe
der Abzählung der Konstanten« Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir
wollen dasselbe erwähnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode stützt,
deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich Beispiele
von Irrtümern anführen lassen, zu denen es führen kann, wenn es ohne die
notwendige Vorsicht angewandt wird.

Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden
Bücher, deren Existenz ich aus einer Anführung Plückers kenne (_Theorie der
algebraischen Curven_, S. 206); A. Peters, _Neue Curvenlehre_ 1835;
C. C. F. Krause, _Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere
scientificae specimina quinque prima_. _Edidit Schröder_, 1835.

[63] S. auch eine Abhandlung Plückers, _Liouvilles Journ._ 1.

[64] _Mém. prés._ 1730-31-32.

[65] S. die in Note 54 citierte _Introductio_.

[66] Hierzu siehe Clebsch, _Vorlesungen über Geometrie_, S. 352; Malet,
_Hermathema_, 1880; Pellet, _Nouv. Ann._ II., 20, 1881.

[67] Cayley, _Quart. Journ._ 7 und _Journ. für Math._ 64; La Gournerie,
_Liouvilles Journ._ II, 14; Nöther, _Math. Ann._ 9; Zeuthen, das. 10;
Halphen, _Comptes rendus_ 78, _Liouvilles Journ._ II, 2, _Mém. prés._ 26;
J. S. Smith, _Proc. math. Soc._ 6; Brill, _Math. Ann._ 16; Raffy, das. 23.
-- An diese Frage knüpft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte zweier
Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte absorbiert
werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von Zeuthen,
_Acta math._ 1.

[68] _Journ. für Math._ 40; vgl. Clebsch (das. 63).

[69] _Journ. für Math._ 36, 40, 41.

[70] _Phil. Mag._ Oktoberheft 1858.

[71] _Phil. Trans._ 1859.

[72] z. B. Dersch, _Math. Ann._ 7.

[73] _A Treatise on higher plane curves_ (1852); ins Deutsche übertragen
durch Fiedler (Leipzig, 1873)

[74] _Gergonnes Ann._ 19.

[75] _Journ. für Math._ 24. -- Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven
und Oberflächen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise von
Clifford (1845-1879) (_Proc. math. Soc._ 1868 oder _Mathematical Papers of
Clifford_, 1882, S. 115) und von Reye (_Journ. für Math._ 72, 78)
verallgemeinert. De Paolis widmete ihr eine interessante Schrift, welche in
den _Lincei Mem._ 1885-1886 veröffentlicht ist.

[76] _Comptes rendus_, 1853.

[77] _Essai sur la génération des courbes géométriques_, 1858 (_Mém. prés._
16). Vgl. Härtenberger, _Journ. für Math._ 58; Olivier das. 70, 71;
Schoute, _Nieuw Archief voor Wiskunde_, 4, und die allerneuesten
Untersuchungen von Jonquières über die Maximalzahl der vielfachen Punkte,
die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (_Comptes rendus_
105).

[78] Veröffentlicht im Jahre 1862 in den _Bologna Mem._ Möge es mir
gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, daß der berühmte Cremona,
dessen Interesse für die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt ist,
seine berühmten Schriften über die Theorie der Kurven und Oberflächen durch
neue Ausgaben allen zugänglich machen wolle. -- Diese Schriften sind in
deutscher Übersetzung von Curtze unter dem Titel: _Einleitung in eine
geometrische Theorie der ebenen Kurven_ (Greifswald, 1865), bez. _Grundzüge
einer allgemeinen Theorie der Oberflächen in synthetischer Behandlung_
(Berlin, 1870) erschienen.

[79] Als Vorbereitung für solche Untersuchungen sind die von Aronhold
(_Berliner Ber._ 1861) anzusehen, dann die von Brioschi (_Comptes rendus_,
1863, 64) über die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen
Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters.

[80] _Journ. für Math._ 58, 64. Die von Clebsch erhaltenen Resultate haben
sich infolge des schönen Werkes von Lindemann, welches den Titel trägt:
_Vorlesungen über Geometrie von A. Clebsch_ (I. Bd. Leipzig, 1876) und von
dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewünscht wird, schnell
verbreitet.

[81] _Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der
Geometrie. Math. Ann._ 7.

[82] Zu den im Texte angeführten Schriften müssen noch die von Brill
hinzugezogen werden (_Math. Ann._ 13), ferner die von Geiser (_Annali di
Matem._ II, 9) und die von Del Pezzo (_Napoli Rend._ 22) über den
Zusammenhang, der zwischen den Singularitäten einer Kurve und denen ihrer
Hesseschen Kurve besteht; ferner die von Laguerre (_Comptes rendus_ 40) und
Holst (_Math. Ann._ 11 und _Archiv for Mathematik og Naturvidenskab_ 7),
über die metrischen Eigenschaften der Kurven.

[83] _De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus._

[84] Vgl. Salmon-Fiedler, _Höhere ebene Kurven_, 5. Kap.

[85] _Phil. Trans._ 1857; _Liouvilles Journ._ 9, 10.

[86] _Journ. für Math._ 42.

[87] _Zeitschr. f. Math._ 17; _Prager Ber._ 1871. -- Man sehe auch das Buch
_Die ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von
Gent (_Zeitschr. f. Math._ 17).

[88] _Giorn. di Matem._ 2.

[89] _Journ. für Math._ 90.

[90] _Prager Abh._ VI, 5.

[91] _Göttinger Nachr._ 1871 und 1872.

[92] _Journ. für Math._ 78.

[93] Hierzu Harnack, _Math. Ann._ 9. Caporali, _Lincei Atti_, III, 1; Folie
und Le Paige, _Mémoires de l'Académie de Belgique_, 43. Halphen, _Math.
Ann._ 15; _Bull. Soc. math._ 9.

[94] _Siehe Giorn. di Matem._, _Lombardo Rend._, _Math. Ann._, _Wiener
Ber._ und _Prager Ber._

[95] Für die Clebschschen Arbeiten sehe man die in Note 80 angeführten
Bände des _Journ. für Math._ nach. Über die ebenen rationalen Kurven
dritter Ordnung sehe man die Arbeiten von Durège (_Math. Ann._ 1), Igel
(das. 6), Rosenow (Dissertation, Breslau, 1873), Schubert (_Math. Ann._
12), Dingeldey (das. 27, 28); über die Kurven vierter Ordnung die von Brill
(Math. Ann. 12) und Nagel (das. 19); über die fünfter Ordnung von Rohn
(das. 25), und über die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die Schriften
von Haase (_Math. Ann._ 2), von Lüroth (das. 9), Pasch (das. 18), Brill
(das. 20), von Weltzien (das. 26) und Garbieri (_Giorn. di Matem._ 16).

[96] _Journ. für Math._ 47; _Comptes rendus_, 1871.

[97] _Journ. für Math._ 53.

[98] Güßfeldt, _Math. Ann._ 2; Laguerre, _Bull. Soc. math._ 7; Cremona und
Clebsch, _Journ. f. Math._ 64; Kiepert, _Zeitschr. f. Math._ 17; Frahm
ebendas. 18; Milinowski das. 19; Intrigila, _Giorn. di Matem._ 23; Kantor,
_Wiener Ber._ 1878 und _Bull. Sciences math._ II, 3.

[99] _Giorn. di Matem._ 15.

[100] _Journ. für Math._ 65.

[101] _Math. Ann._ 4.

[102] _Bull. de la Société philomathique_, VII, I.

[103] Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das
Quadrat des vermittelst einer primären Transformation ungerader Ordnung
transformierten Moduls und schließlich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende
Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F([alpha],
[beta], [gamma]) = 0. Siehe _Proc. math. Soc._ 9.

[104] _Journ. f. Math._ 65; vgl. Ed. Weyr das. 73; Hurwitz, _Math. Ann._
19.

[105] _Math. Ann._ 24.

[106] _Journ. für Math._ 95, 99; siehe auch die Abhandlung von August,
_Grunerts Arch._ 59.

[107] _Transactions of the Royal Society of Edinburgh_ 25.

[108] _Math. Ann._ 5.

[109] _Math. Ann._ 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von Harnack in
der _Zeitschr. f. Math._ 22. Die hauptsächlichsten von Durège und Schröter
auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsätze sind analytisch von Walter in
seiner Dissertation _Über den Zusammenhang der Kurven dritter Ordnung mit
den Kegelschnittscharen_ (Gießen, 1878) bewiesen. Den genannten Schriften
Schröters über die Kurven dritter Ordnung können wir nun noch sein
neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch: _Die Theorie der
ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1888) hinzufügen.

[110] _Math. Ann._ 5.

[111] _Math. Ann._ 1, 13; vgl. Clebsch, _Journ. für Math._ 59.

[112] _Irish Trans._ 1869.

[113] Siehe dessen Werk, _Sur une classe remarquable de courbes et surfaces
algébriques_ (Paris, 1873).

[114] _Journ. für Math._ 57, 59, 66.

[115] _Tidsskrift for Mathematik_, IV, 3.

[116] _Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn_ 1879.

[117] Erschienen in den _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_
(Mailand, 1881).

[118] _Journ. für Math._ 28, 34, 38.

[119] _Journ. für Math._ 49, 55; vgl. auch Cayley (das. 58).

[120] _Journ. für Math._ 49.

[121] _Berliner Ber._ 1864, sowie _Nouv. Ann._ II, 11.

[122] _Math. Ann._ 1; _Journ. für Math._ 72.

[123] Vgl. Note 80.

[124] _Journ. für Math._ 66. -- Über die Doppeltangenten einer Kurve
vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: Riemann, _Zur Theorie der
Abelschen Funktionen für den Fall p=3_. _Gesammelte Werke_ (Leipzig, 1876),
S. 456-499; Nöther, _Math. Ann._ 15; Cayley, _Journ. für Math._ 94;
Frobenius (das. 99); Freyberg, _Math. Ann. _17; H. Weber (ebendas. 23).

[125] Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die Mongesche Schule an
der Schöpfung der Theorie der Flächen zweiten Grades hatte, zu überzeugen,
genügt es, sich folgendes zu vergegenwärtigen: Ihr verdanken wir die
doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des
hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (Monge,
_Journ. Éc. polyt._ 1) und die Erzeugung aller Flächen zweiten Grades, mit
Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises
(Hachette, _Éléments de Géométrie à trois dimensions_). Monge und Hachette
verdankt man den Beweis der Existenz der drei Hauptebenen einer Oberfläche
zweiter Ordnung; Monge (_Correspondance sur l'École polytechnique_) die
Entdeckung des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Triëder, deren
Kanten eine Fläche zweiter Ordnung berühren, und Bobillier (_Gergonnes
Ann._ 18) die des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Triëder, deren
Seitenflächen eine Fläche zweiter Ordnung berühren; Monge bestimmte die
Krümmungslinien des Ellipsoides (_Journ. Éc. polyt._ 2); Livet (das. 13)
und Binet (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrsätze des Apollonius auf
den Raum aus, während Chasles (_Correspondance sur l'Éc. polyt._) andere
analoge Sätze gab; Dupin (_Journ. Éc. polyt._ 14) machte einige
interessante Methoden zur Erzeugung solcher Oberflächen bekannt. Brianchon
(das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer Fläche zweiten Grades
ebenfalls eine Fläche zweiten Grades sei, u. s. w.

[126] _Journ. für Math._ 12.

[127] _Irish Proc._ 2.

[128] _Aperçu historique_, Note 25, 28, 31, 32; _Comptes rendus_, 1855;
_Liouvilles Journ._ 1860 u. s. w.

[129] _Journ. für Math._ 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90.

[130] _Grunerts Arch._ 9.

[131] _Journ. für Math._ 62. Über die Oberflächen zweiter Ordnung sehe man
auch die Abhandlungen von Townsend (_Cambridge Journ._ 3), von Darboux
(_Bull. Soc. Math._ 2), von Meray und Cremona (_Annali di matem._ I, 3)
u. s. w. und die _Géométrie de direction_ (Paris, 1869) von P. Serret.

Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der Theorie der Flächen zweiten
Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer Punkte
gegeben sind. Dieselbe wurde von Seydewitz (_Grunerts Arch._ 9), Chasles
(_Comptes rendus_, 1855), Steiner (_Gesammelte Werke_, II. Bd.,
_Nachlass_), Schröter (_Journ. für Math._ 62), Sturm (_Math. Ann._ 1) und
Dino (_Napoli Rend._ 1879) gelöst. -- Daran knüpft sich die Untersuchung
des achten Punktes, der allen Flächen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die
durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand wichtiger
Untersuchungen von Hesse (_Journ. für Math._ 20, 26, 73, 75, 99), Picquet
(das. 73, 99), Caspary, Schröter, Sturm, Zeuthen (das. 99) und Reye (das.
100).

Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flächen zweiten
Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flächen zweiten Grades reziproke
Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von Battaglini
behandelt (_Lincei Atti,_ 1875), von d'Ovidio (_Giorn. di Matem._ 10) und
synthetisch von Thieme (_Zeitschr. f. Math._ 22).

Über einige Flächen zweiten Grades, welche besondere metrische
Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben
geschrieben: Steiner (_Journ. für Math._ 2 und _Systematische
Entwickelung_), Chasles (_Liouvilles Journ._ 1 [1836]), Schröter (_Journ.
für Math._ 85), Schönfließ (_Zeitschr. für Math._ 23, 24 und _Journ. für
Math._ 99), Vogt (_Journ. für Math._ 86) und Ruth (_Wiener Ber._ 80).

Zu den neuesten Studien über die Flächen zweites Grades gehören die von
Zeuthen (_Math. Ann._ 19, 26) über die Theorie der projektiven Figuren auf
einer solchen Fläche; daran schließen sich auch einige schöne
Untersuchungen, welche Voß gemacht hat (_Math. Ann._ 25, 26), um gewisse
Resultate von Poncelet und Bruno (_Torino Atti_ 17) weiter auszudehnen.
Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie
bemerkenswert, welche Staude (_Math. Ann._ 20, 21, 25, 27) gemacht hat.

[132] Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen
Lehrbüchern diesen Oberflächen gewidmet haben: Hesse (_Vorlesungen über die
analytische Geometrie des Raumes_), Salmon (_Analytische Geometrie des
Raumes_), Cremona (_Preliminari di una teoria geometrica delle
superficie_), Reye (_Die Geometrie der Lage_) und Schröter (_Theorie der
Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung_).

[133] _Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science_
(Anhang zum _Aperçu historique_).

[134] _Gergonnes Ann._ 17.

[135] _Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques_. (_Journ.
für Math._ 4).

[136] _Cambridge Journ._ 2, 4; _Irish Trans._ 23.

[137] _Cambridge Journ._ 7, 8; _Phil. Trans._ 1869, 71 u. 72. Man sehe auch
die von Zeuthen in den _Math. Ann._ 4, 9, 10, von Jonquières in den _Nouv.
Ann._ 13 und von Halphen in den _Annali di Matem._ II, 9 veröffentlichten
Abhandlungen.

[138] _Journ. für Math._ 15.

[139] _Math. Ann._ 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von Padova im _Giorn. di
Matem._ 9, sowie eine von Valentiner, _Tidsskrift for Mathematik_ IV, 3.

[140] _Comptes rendus_ 45.

[141] _Preliminari di una teoria geometrica delle superficie_. (_Bologna
Mem._ II, 6, 7).

[142] _Wiener Ber._ 1877, 1882.

[143] _Math. Ann._ 27.

[144] _Journ. für Math._ 49.

[145] _Cambridge Journ._ 4; _Quart. Journ._ 1; _Phil. Trans._ 1860.

[146] _Journ. für Math._ 58, 63.

[147] _Journ. für Math._ 72.

[148] _Math. Ann._ 10, 11, 12; _Abzählende Geometrie_, 5. Abschnitt. S.
auch Krey, _Math. Ann._ 15.

[149] _Math. Ann._ 23.

[150] _Journ. für Math._ 72, 78, 79, 82.

[151] _Geometry of three dimensions_; in deutscher Übersetzung von Fiedler:
_Analytische Geometrie des Raumes in zwei Bänden_ (3. Auflage, 1879/80).

[152] _Preliminari_ etc. Vgl. Note 141.

[153] Vgl. die in Note 136 und 137 angeführten Arbeiten.

[154] _Cambridge Journ._ 6.

[155] Auch im _Journ. für Math._ 53 publiziert.

[156] Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von Cayley
und Salmon im Zusammenhange steht, ist eine von Schläfli (_Quart. Journ._
2), die besonders dadurch wichtig ist, daß sie die erste ist, welche den
Begriff der »Doppelsechs« enthält.

[157] _Journ. für Math._ 62.

[158] _Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis_ (Berlin, 1862).

[159] _Journ. für Math._ 68; ferner _Grundzüge einer allgemeinen Theorie
der Oberflächen_ (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche Übersetzung
der in Note 141 und 152 zitierten »_Preliminari_« und diejenige dieser
Preisschrift (durch Curtze) vereinigt sind.

[160] _Synthetische Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung_. Leipzig,
1867.

[161] _Journ. für Math._ 51; vgl. eine von Schröter (das. 96)
veröffentlichte Abhandlung.

[162] Vgl. die in Note 158 zitierte Arbeit. -- Man sehe auch Schubert,
_Math. Ann._ 17.

[163] _Grunerts Arch._ 56.

[164] _Bull. soc. math._ 4.

[165] _Acta math._ 3.

[166] _Lombardo Rend._ März 1871.

[167] _Grunerts Arch._ 56.

[168] _Math. Ann._ 23.

[169] _Lombardo Rend._ 1884; _Annali di Matem._ II, 12.

[170] _Math. Ann._ 13; _Lincei Mem._ 1876-1877.

[171] _Napoli Rend._ 1881.

[172] _Journ. für Math._ 78.

[173] _Lombardo Rend._ 1879.

[174] _Acta math._ 5.

[175] _Phil Trans._ 1863; vgl. Cayley (das. 1869).

[176] _Math. Ann._ 14.

[177] _Lombardo Atti_, 1861.

[178] _Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde_ u. s. w. Leipzig, 1869;
_Geometrie der räumlichen Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde_, Leipzig,
1870.

[179] _Über die geradlinige Fläche dritter Ordnung und deren Abbildung auf
eine Ebene._ (Dissertation. Straßburg, 1876.)

[180] _Math. Ann._ 4.

[181] _Phil. Mag._ 1864.

[182] _Math. Ann._ 10.

[183] _Phil. Trans._ 150.

[184] _Journ. für Math._ 58.

[185] _Math. Ann._ 5.

[186] _Lincei Mem._ 1880-1881. Man sehe auch eine Note von Brioschi in den
_Lincei Atti_ II, 3, in welcher bewiesen wird, daß die 45 dreifach
berührenden Ebenen einer Oberfläche dritter Ordnung dreien Oberflächen
zehnter Klasse gemeinsam sind. Neuerdings fand Bauer (_Abh. der Bayr. Akad.
der Wiss._ 14, 1883) analytisch von neuem, was Sturm schon 1867 in seinen
_Synthetischen Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung_ erkannt hatte,
daß die Schnittkurve einer Oberfläche dritter Ordnung mit ihrer Hesseschen
Fläche für beide eine parobolische Kurve ist; ein bemerkenswertes Resultat,
weil es das Analogon im Raume zu einem bekannten Satze über die ebene
kubische Kurve ist.

[187] _Liouvilles Journ._ II, 14; _Traité des substitutions et des
équations algébriques_ (Paris, 1870).

[188] _Traité des propriétés projectives des figures_.

[189] _Comptes rendus_, 1862.

[190] Ebendas., 1861.

[191] _Phil. Trans._ 1864.

[192] _Bologna Mem._ 1868.

[193] _Berliner Ber._ 1864; _Journ. für Math._ 64.

[194] _Nouv. Ann._ II, 5.

[195] Die Dupinsche Cyklide gehört zu diesen.

[196] Vgl. _Comptes rendus_ 1864.

[197] Die Untersuchungen von Darboux finden sich in dem schon angeführten
Buche: _Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques_
(Paris, 1873) zusammengefaßt.

[198] S. die Aufzählung der Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note
zitierten Werkes sich findet, und die _Notice sur la vie et les travaux de
M. Laguerre_, veröffentlicht von Poincaré in den _Comptes rendus_ 104.

[199] _Phil. Trans._ 1871.

[200] _Lombardo Rend._ 1871.

[201] _Journ. für Math._ 70.

[202] _Math. Ann._ 4.

[203] _Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit_ (Kopenhagen, 1879).
Von dieser Abhandlung habe ich eine italienische Übersetzung in den _Annali
di Matem._ II, 14 veröffentlicht.

[204] _Journ. für Math._ 69.

[205] _Math. Ann._ 1, 2, 3, 4.

[206] _Annali di Matem._ II, 13.

[207] _Leipziger Dissertation_ (Greifswald, 1885).

[208] _Math. Ann._ 19.

[209] _Torino Mem._ II, 36.

[210] _Math. Ann._ 24. Betreffend die Konstruktion einer Oberfläche vierter
Ordnung mit Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von Bobek (_Wiener
Ber._ 11. und 18. Dez. 1884) und eine von Veronese (_Atti dell' Istituto
Veneto_, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe man eine
Abhandlung von Saltel (_Bull. Soc. math._ 3).

[211] Weierstraß, _Berliner Ber._ 1863.

[212] Unter den Eigenschaften der römischen Fläche von Steiner verdient
eine hervorragende Stelle die (durch verschiedene Methoden von Cremona und
Clebsch nachgewiesene) Eigenschaft, daß sie zu asymptotischen Kurven
(Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter Ordnung hat. Eine andere
Eigenschaft derselben wurde von Darboux (_Bull. sciences math._ II, 4)
entdeckt und besteht darin, daß sie die einzige Fläche ist, außer den
Flächen zweiten Grades und den Regelflächen dritten Grades, bei welcher
durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte gehen. Neuerdings hat
Picard (_Journ. für Math._ 100) gezeigt, daß sie die einzige nicht
geradlinige Oberfläche ist, deren sämtliche ebene Schnitte rationale Kurven
sind. Man sehe hierzu noch eine Note von Guccia in den _Rendiconti del
circolo matematico di Palermo_, 1. -- Lie machte (_Archiv for Math. og
Naturvidenskab._ 3) die interessante Bemerkung, daß der Ort der Pole einer
Ebene in Bezug auf die Kegelschnitte einer Steinerschen Fläche eine
ebensolche Fläche ist.

[213] _Journ. für Math._ 63; _Lombardo Rend._ 1867.

[214] _Journ. für Math._ 64.

[215] _Math. Ann._ 3.

[216] _Journ. für Math._ 64; _Proc. math. Soc._ 5.

[217] _Giorn. di Matem._ 1; _Bologna Mem._ 1879.

[218] _Journ. für Math._ 67.

[219] _Math. Ann._ 5.

[220] _Nouv. Ann._ II, 11, 12; _Bull. Soc. math._ 1.

[221] _La superficie di Steiner studiata nella sua rappresentazione
analitica mediante le forme ternarie quadratiche_ (Torino, 1881).

[222] _Berliner Abh._ 1866 und _Berliner Ber._ 1864.

[223] Diese Oberfläche hat eine fundamentale Bedeutung in der
mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist in der That bekannt, daß die
Bestimmung der Ebenen, welche sie längs Kreisen berühren, Hamilton zur
Entdeckung der konischen Refraktion führte, einer Erscheinung, welche der
Aufmerksamkeit der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler
interessanter Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen
verschiedener Gelehrten, insbesondere Mannheims (_Comptes rendus_, 78, 81,
85, 88, 90; _Association franç. pour l'avanc. des sciences_ 1874, 75, 76,
78), _Proc. Roy. Soc._ 1882; _Collectanea mathematica_ u. s. w.

[224] _Liouvilles Journ._ 11; _Journ. für Math._ 87. Vgl. eine Abhandlung
von Segre im _Giorn. di Matem._ 21. Andere Spezialfälle der Kummerschen
Fläche wurden von Rohn und Segre (_Leipziger Ber._ 1884) studiert.

[225] Diese Eigenschaft der Kummerschen Fläche veranlaßte eine Untersuchung
über die Oberflächen beliebiger Ordnung, welche dieselbe besitzen, eine
Untersuchung, die schon von Kummer und Cayley unternommen ist, _Berliner
Ber._ 1878.

[226] _Berliner Ber._ 1870, oder _Math. Ann._ 23.

[227] _Journ. für Math._ 97; vgl. Segre das. 98.

[228] _Journ. für Math._ 83, 94; oder _Borchardts Gesammelte Werke_
(Berlin, 1888, S. 341); vgl. Brioschi und Darboux, _Compt. rend._, 1881.

[229] _Journ. für Math._ 84.

[230] S. die in Note 207 zitierte Abhandlung, und für die Geschichte der
Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche Oberfläche
die Einleitung der Abhandlung von Rohn, _Math. Ann._ 15.

[231] _Journ. für Math._ 70.

[232] _Münchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15.

[233] Die anderen Oberflächen vierter Ordnung mit singulären Punkten wurden
von Cayley studiert (_Proc. math. Soc._ 1870, 1871), vollständiger von Rohn
in einer sehr schönen Abhandlung, die von der Jablonowskischen Gesellschaft
kürzlich prämiiert ist (vgl. _Math. Ann._ 29). Endlich wurden die von
Flächen zweiten Grades eingehüllten Flächen vierter Ordnung von Kummer
untersucht, _Berliner Ber._ 1872.

[234] _On the quartic surfaces_ (+) (u, v, w)^2 = 0 (_Quart. Journ._ 10,
11); _On the quartic surfaces represented by the equation symmetrical
determinant_ = 0 (_Quart. Journ._ 14).

[235] Bekanntlich nennt man nach Cayley ein Monoid eine Oberfläche n^{ter}
Ordnung mit einem (n-1)-fachen Punkte.

[236] _Math. Ann._ 24; vgl. auch die Dissertation von Lampe, Berlin, 1864.

[237] _Math. Ann._ 18, 17. Außer den im Texte zitierten Oberflächen wurden
noch andere spezielle Flächen studiert, die ich der Kürze wegen übergehen
muß; der größere Teil derselben wurde vermittelst der Theorie der
Abbildungen entdeckt oder betrachtet, siehe § VI.

[238] _Correspondance mathématique_ 9; _Liouvilles Journ._ 2.

[239] _Cambridge Journ._ 8 und _Irish Trans._ 23.

[240] _Phil. Trans._ 1863-1869. In den angeführten Arbeiten haben Cayley
und Salmon die Regelflächen bearbeitet als die Örter der Geraden, die drei
gegebene Kurven treffen, oder eine einmal und eine zweite zweimal treffen,
oder Trisekanten einer Kurve sind. Rupp hat neuerdings diese Betrachtungen
wieder aufgenommen, um auf eine andere Weise die Resultate zu erhalten und
zu modifizieren, zu denen jene Mathematiker gelangt waren (_Math. Ann._
18).

[241] _Annali di Matem._ II, 1.

[242] _Traité de géométrie descriptive_, Art. 629 u. 635.

[243] _Math. Ann._ 8, 12, 13.

[244] _Comptes rendus_, 1862; vgl. d'Ovidio und Dino, _Giorn. di Matem._ 3.

[245] _Dissertation_, gedr. zu Berlin 1864, und _Journ. für Math._ 67.

[246] _Recherches sur les surfaces réglées tetraédrales symétriques_
(Paris, 1867). Ich bemerke, daß ein Büschel von Oberflächen, die in Bezug
auf ein Tetraeder symmetrisch sind, mit einem projektiven Ebenenbüschel
eine bemerkenswerte Fläche erzeugt, die von Eckardt (_Zeitschr. f. Math._
20) bearbeitet ist und welche die allgemeine Oberfläche dritter Ordnung in
sich schließt.

[247] _Math. Ann._ 5.

[248] _Annali di Matem._ II, 4.

[249] _Prager Abhandlungen_ VI, 5.

[250] _Mémoires de Bordeaux_ II, 3.

[251] _Über die Flächen, deren Gleichungen aus denen ebener Kurven durch
eine bestimmte Substitution hervorgehen. Math. Ann._ 7.

[252] _Lincei Mem._ 1878-1879.

[253] _Math. Ann._ 4.

[254] _Math. Ann._ 27, 29. S. auch eine Abhandlung von Eckardt (daselbst
7).

[255] _Math. Ann._ 3.

[256] das. 14, 15. S. auch eine Bemerkung von Dino, _Napoli Rend._ 19.

[257] _Comptes rendus_, 52.

[258] _Journ. für Math._ 68.

[259] _Math. Ann._ 2.

[260] _Proc. math. Soc._ 4; _Comptes rendus_, 1861; vgl. Hungady _Journ.
für Math._ 92.

[261] Klein und Lie, _Comptes rendus_, 70.

[262] Fouret, _Bulletin de la Société philomatique_, VII, 1.

[263] Jung, _Lincei Rend._ 1885 und 1886. S. auch zwei Bemerkungen über
denselben Gegenstand, veröffentlicht von Visalli (ebendas. 1886).

[264] Goursat, _Ann. Ec. norm._ III, 4; Lecornu, _Acta math._ 10.

[265] Cfr. die bewunderungswerten _Vergleichenden Betrachtungen über neuere
geometrische Forschungen_ von F. Klein (Erlangen, 1872).

[266] Veröffentlicht im Jahre 1795 unter dem Titel: _Feuilles d'Analyse
appliquée à la Géométrie_. Die letzte (fünfte) Ausgabe wurde von Liouville
im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr wertvoller Noten
bereichert.

[267] Der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
überreicht am 8. Oktober 1827 und abgedruckt im 6. Bande der
_Commentationes recentiores societatis Gottingensis_. Diese
_Disquisitiones_ stehen im 4. Bande der von der genannten Gesellschaft
herausgegebenen _Werke_ von Gauß, ferner in französischer Übersetzung in
der angeführten Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von Monge.

[268] Wenn x = e(t), y = f(t), z = g(t) die Ausdrücke der Koordinaten der
Punkte dieser Kurve in Funktionen eines Parameters t sind und F(x, y, z) =
0 die Gleichung der gegebenen Oberfläche, so ist die fragliche Enveloppe
die der Oberfläche F{x + e(t), y + f(t), z + g(t)} = 0.

[269] Über solche Flächen sehe man die neue Arbeit von Lie (_Archiv for
Mathematik og Naturvidenskab_ 7).

[270] Vor Monge hatten sich schon Euler (_Histoire de l'Académie de
Berlin_, 1766) und Meunier (_Mémoires de l'Académie des sciences de Paris_
10, 1776) mit diesem Thema beschäftigt.

[271] Unter den neueren Arbeiten über die Krümmungslinien führen wir nur
die von Hamilton, Frost und Cayley an, die sich als Aufgabe gestellt haben,
zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum verteilt sind (_Quart.
Journ._ 12).

[272] Vgl. hierzu eine von Cremona veröffentlichte Arbeit in den _Bologna
Mem._ III, 1. Wir führen hier auch einige Noten von Darboux an (_Comptes
rendus_, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Krümmungslinien einiger
spezieller bemerkenswerter Flächen zum Zwecke haben.

[273] Die Differentialgleichung der Minimalflächen verdanken wir Lagrange
(_Miscellanea Taurinensia_, 1760-1761); die geometrische Interpretation
derselben wurde ein wenig später von Meunier gegeben (vgl. Note 270).

[274] An die in den §§ 18 und 21 der _Application_ gemachten Untersuchungen
knüpft sich eine Abhandlung von O. Rodrigues, die sich in der
_Correspondance sur l'École polytechnique_ 3 findet.

[275] Außer den Krümmungs- und asymptotischen Linien auf einer Fläche sind
noch diejenigen bemerkenswert, bei denen die Schmiegungskugel in einem
beliebigen ihrer Punkte die Oberfläche selbst berührt. Dieselben wurden von
Darboux (_Comptes rendus_ 83) und von Enneper (_Göttinger Nachrichten_,
1871) studiert.

[276] Dupin fand (_Applications de Géométrie et de Méchanique_, 1822), daß
die einzigen Oberflächen, bei denen sämtliche Krümmungslinien Kreise sind,
die Kugel, der Rotations-Kegel und -Cylinder und die Cyklide sind, welch
letztere er schon als die Enveloppe einer Kugel erkannt hatte, die sich so
bewegt, daß sie immer drei feste Kugeln tangiert.

[277] _Liouvilles Journ._ 13.

[278] _Journ. Éc. polyt._ 19, 35; _Comptes rendus_ 42.

[279] _Atti dell' Accademia dei Quaranta_, 1868-1869; _Annali delle
Università toscane_, 1869; _Annali di Matem._ II, 1, 4.

[280] _Göttinger Abh._ 13, 16, 23; _Journ. für Math._ 94.

[281] _Comptes rendus_, 96.

[282] das. 46.

[283] _Journ. Éc. polyt._ 53.

[284] _Journ. für Math._ 94.

[285] _Göttinger Dissertation_, 1883.

[286] _Journ. für Math._ 59.

[287] _Annali di Matem._ I, 8.

[288] _Archiv for Math. og Naturvidenskab_, 4; _Bull. Sciences math._ II,
4.

[289] _Journ. für Math._ 62.

[290] _Berliner Ber._ 1840; _Journ. für Math._ 24.

[291] _Berliner Ber._ 1866.

[292] _Abhandlungen der Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig_ 4;
_Journ. für Math._ 13.

[293] _Liouvilles Journ._ II, 5.

[294] das. I, 11.

[295] _Göttinger Abh._ 13, _oder Gesammelte Werke_ S. 283 und 417.
Niewenglowski hat die Riemannschen Untersuchungen in elementarer Form
dargelegt in den _Ann. Éc. norm._ II, 9.

[296] _Berliner Ber._ 1867.

[297] _Math. Ann._ 1.

[298] _Akademiens Afhandlingar_, _Helsingfors_, 1883.

[299] _Journ. Éc. polyt._ 37.

[300] _Heidelberger Dissertation_, 1875.

[301] _Comptes rendus_ 41; vgl. Enneper, _Zeitschr. f. Math._ 7, 9.

[302] _Journ. Éc. polyt._ 39.

[303] _Bestimmung einer speziellen Minimalfläche_ (Berlin, 1871). Vgl.
Cayley, _Quart. Journ._ 14.

[304] _Journ. für Math._ 80.

[305] das. 87; _Comptes rendus_ 96.

[306] _Zeitschr. f. Math._ 14; _Göttinger Nachr._ 1866.

[307] _Liouvilles Journ._ II, 8.

[308] _Bologna Mem._ II, 7. Die wunderschöne Einleitung dieser Abhandlung
enthält die Geschichte der Theorie der Minimalflächen.

[309] _Archiv for Math. og Naturv._ 3, 4, 6; _Math. Ann._ 14, 15.

[310] _Journ. für Math._ 81, 85.

[311] _Annali di Matem._ II, 9.

[312] _Étude des élassoides. Mémoires couronnés par l'Académie de Belgique_
44.

[313] _Giorn. di Matem._ 22.

[314] _Lombardo Rend._ 1876; _Giorn. di Matem._ 14.

[315] _Journ. für Math._ 78.

[316] Das Studium der Krümmung einer Oberfläche in einem singulären Punkte
wurde von Painvin im _Journ. für Math._ 72 angestellt.

[317] Ein analoger Satz wurde neuerdings von Sturm entdeckt (_Math. Ann._
21).

[318] Einige Vervollkommnungen und Ergänzungen dieses Teiles der Gaußischen
Abhandlung wurden von Liouville (_Journ. Éc. polyt._ 24), von Baltzer
(1818-1887) (_Leipziger Berichte_ 1872) und durch von Escherich (_Grunerts
Arch._ 57) vorgenommen.

[319] Der Satz von Gauß: »Damit eine Oberfläche auf eine andere abwickelbar
sei, ist notwendig, daß die Krümmung in den entsprechenden Punkten gleich
sei«, wurde auf verschiedene Arten von Liouville (_Liouvilles Journ._ 12),
von Bertrand, Puiseux und Diguet (das. 13) bewiesen. Vgl. auch Minding,
_Journ. für Math._ 19.

[320] _Annali di Matem._ II, 1.

[321] _Bologna Mem._ II, 8.

[322] _Math. Ann._ 1.

[323] _Comptes rendus_ 37.

[324] das. 44, 46, 57, 67.

[325] _Annali di Matem._ I, 7. -- Das allgemeinere Problem der Bestimmung
zweier Oberflächen, so daß jedem Punkte der einen ein Punkt oder eine
Gruppe von Punkten der anderen entspricht, und daß den geodätischen Linien
der einen geodätische Linien der anderen korrespondieren, wurde später von
Dini behandelt. (_Annali di Matem._ II, 3).

[326] _Giorn. di Matem._ 6.

[327] _Comptes rendus_, 1865.

[328] _Archiv for Math. og Nat._ 4, 5.

[329] _Giorn. di Matem._ 16, 20, 21.

[330] _Lund Årskrift_ 19.

[331] _Comptes rendus_ 96, 97.

[332] _Acta math._ 9.

[333] _Journ. für Math._ 64.

[334] _Berliner Ber._ 1882-1883. -- Hieran schließt sich die Schrift von
Lilienthal's: _Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der krummen
Oberflächen und der geradlinigen Strahlensysteme_ (Bonn, 1886).

[335] _Journ. für Math._ 26, 30. -- Joachimsthals Vorlesungen: _Anwendung
der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der
Flächen und der Linien doppelter Krümmung_ erschienen nach seinem Tode
(Leipzig, 2. Auflage, 1881).

[336] _Göttinger Nachr._ 1867.

[337] _Lombardo Atti_ II, 1.

[338] _Programm der Universität von Christiania_, 1879.

[339] _Math. Ann._ 20.

[340] _Journ. für Math._ 6, 18, 19.

[341] _Journ. Éc. polyt._ 39.

[342] _Mém. prés._ 27 (1879) (_Mémoire relatif à l'application des surfaces
les unes sur les autres_).

[343] _Journ. Éc. polyt._ 41, 42.

[344] _Berliner Abh._, 1869.

[345] _Journ. für Math._ 94.

[346] _Berliner Ber._ 1882.

[347] _Münchener Abh._ 14.

[348] _Journ. für Math._ 6.

[349] _Irish Trans._ 22, I. T.

[350] _Giorn. di Matem._ 2.

[351] _Göttinger Nachr._ 1875.

[352] _Giorn. di Matem._ 21.

[353] _Journ. Éc. polyt._ 48.

[354] _Bologna Mem._ IV, 3.

[355] _Mém. prés._ 5; _Liouvilles Journ._ 2. -- Unter den vielen
Anwendungen, die man von den elliptischen Koordinaten gemacht hat, wollen
wir nur diejenigen anführen, die Jacobi davon gemacht hat bei der
Bestimmung der geodätischen Linien (_Journ. für Math._ 14; _Comptes rendus_
8; _Liouvilles Journ._ 6) und bei einigen Fragen der Dynamik. S.
_Vorlesungen über Dynamik_, 1866 in erster, 1884 in zweiter Ausgabe als
Supplementband zu den _Gesammelten Werken_ erschienen.

[356] _Journ. Éc. polyt._ 23.

[357] _Liouvilles Journ._ 5.

[358] das. 4.

[359] das. 8.

[360] _Comptes rendus_ 48, 54; _Journ. für Math._ 58; _Annali di Matem._ I,
6 und II, 1, 3, 5.

[361] _Annali di Matem._ II, 1.

[362] das. II, 1, 2, 4, 5.

[363] _Bologna Mem._ 1868-1869.

[364] _Ann. Éc. norm._ II, 7.

[365] _Ann. Éc. norm._ I, 4.

[366] _Journ. Éc. polyt._ 43.

[367] _Annales des mines_ VII, 5.

[368] _Liouvilles Journ._ 11.

[369] das. 12.

[370] _Comptes rendus_ 54.

[371] _Mémoires couronnés par l'Académie de Belgique_, 32.

[372] _Comptes rendus_ 59.

[373] das. 59, 60, 67, 76; _Ann. Éc. norm._ I, 2; II, 3.

[374] _Comptes rendus_ 74, 75; _Phil. Trans._ 163. Vgl. Weingarten, _Journ.
für Math._ 83.

[375] _Comptes rendus_ 76.

[376] _Journ. für Math._ 85.

[377] das. 76; vgl. Darboux, _Comptes rendus_ 84.

[378] _Grunerts Arch._ 55, 56, 57, 58 und 63.

[379] _Giorn. di Matem._ 21, 22; _Annali di Matem._ II, 13; _Lincei Rend._
1886.

[380] _Mémoires de l'Académie de Toulouse_ VIII, 1.

[381] _Archiv for Math. og Naturv._ 7.

[382] _Göttinger Abh._ 19. -- Wenn u der Winkel der Normalen der Oberfläche
in einem Punkte mit der z-Axe, und v der Winkel der Projektion derselben
auf die xy-Ebene mit der x-Axe ist, so nennt man nach Enneper Kurven, deren
Gleichungen u = _const._ oder v = _const._ sind, Meridiankurven.

[383] _Comptes rendus_ 74; _Proc. math. Soc._ 4.

[384] _Berliner Ber._ 1883.

[385] _Göttinger Dissertation,_ 1883.

[386] _Giorn. di Matem._ 17.

[387] _Mémoires de la société scientifique de Bruxelles_ 5, 7, 8.

[388] _Ann. Éc. norm._ II, 3; _Journ. Éc. polyt._ 53.

[389] _Liouvilles Journ._ 9, 12.

[390] _Journ. Éc. polyt._ 30, 32; _Liouvilles Journ._ 14; _Comptes rendus_
54.

[391] Man sehe auch die _Thèse_ (Dissertation) von Picart, _Essai d'une
théorie géométrique des surfaces_ (Paris, 1863).

[392] _Liouvilles Journ._ II, 17 und III, 4; _Bull. Soc. math. _2, 5, 6;
_Comptes rendus_ 74, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88; _Proc. math. Soc._
12; _The Messenger of Mathematics_ II, 8.

[393] _Enumeratio linearum tertii ordinis_ (1706). Indem wir eine Bemerkung
von Bellavitis (1803-1880) verwerten (s. § 107 der Schrift _Sulla
classificazione delle curve di terzo ordine, Memorie della Società italiana
delle scienze residente in Modena_, Bd. 25, II. Teil S. 34), geben wir
dieses Resultat wieder, indem wir sagen, daß jede Kurve dritter Ordnung
sich durch eine geeignete projektive Transformation auf eine der folgenden
Formen bringen läßt: Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge und einem
Ovale (_parabola campaniformis cum ovali_), Kurve mit einem Doppelpunkte
(_parabola nodata_), Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge (_parabola
pura_), Kurve mit einem isolierten Punkte (_parabola punctata_), Kurve mit
einer Spitze (_parabola cuspidata_). Unter den Beweisen, die für diesen
Satz gegeben sind, führe ich den von Möbius an, der sich auf die Prinzipien
der analytischen Sphärik gründet (_Gesammelte Werke_, II. Bd. S. 89-176),
und den, der aus der Klassifikation von Bellavitis (s. oben) hervorgeht. An
Möbius schließt sich an: M. Baur, _Synthetische Einteilung der ebenen
Kurven III. Ordnung_ (Stuttgart, 1888). Dann bemerke ich noch hierzu, daß
die Einteilungen, die von Möbius und Bellavitis (fast gleichzeitig, da die
erste 1852 veröffentlicht wurde und die zweite 1851 geschrieben und 1855
veröffentlicht wurde) vorgeschlagen sind, gemeinsam haben, daß sie die
Kollineation als Grundlage der Bildung der Gattungen, die Affinität zur
Grundlage der Bildung der Arten dieser Kurven nehmen. Plückers Einteilung
befindet sich im _System der analytischen Geometrie_. J. W. Newman hat der
_British Association for the Advancement of Science_ (vgl. Report
1869-1870) eine Diskussion der Formen der ebenen kubischen Kurven und eine
daraus sich ergebende Nomenklatur vorgelegt, die von der gewöhnlich
üblichen abweicht.

[394] _Aperçu historique_, Note 20.

[395] _Journ. für Math._ 75 und 76. Wir können hinzufügen, daß Reye im
Anhange der 3. Auflage des ersten Teiles seiner _Geometrie der Lage_, der
vor wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur
Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einführt, indem er sie
als die Jacobischen Kurven von Kegelschnittnetzen auffaßte.

[396] §§ 12, 13, 14, 15.

[397] _The Messenger of Mathematics_ II, 6.

[398] _Anwendung der Topologie auf die Gestalten der algebraischen Kurven,
speziell der rationalen Kurven vierter und fünfter Ordnung_ (Münchener
Dissertation, 1878).

[399] _Irish Trans._ 1875.

[400] _Beiträge zur Theorie der Oskulationen bei ebenen Kurven dritter
Ordnung_ (Berliner Dissertation, 1884).

[401] _Math. Ann._ 7, 10. S. übrigens die Abhandlung: _Almindelige
Egenskaber ved Systemer af plane Kurver_ (Abh. der Akad. der Wissensch. in
Kopenhagen V, 10).

[402] _Math. Ann._ 12; _Tidsskrift for Mathem._ IV, 1.

[403] _Math. Ann._ 10. Vgl. auch Perrin, _Bull Soc. math._ 6.

[404] _Theorie der algebraischen Kurven_ S. 249 flgg. -- Im Anschluß an
Plücker mögen noch Beers _Tabulae curvarum quarti ordinis symmetricarum_
(Bonn, 1862) erwähnt werden.

[405] »Eine Kurve vom Geschlechte p kann höchstens aus p + 1 Zügen
bestehen«. _Math. Ann._ 10. Der Spezialfall dieses Satzes, p = 0, ist seit
langer Zeit bekannt; schon Bellavitis hatte denselben in der vorher
angeführten Abhandlung besprochen; er erklärt die Benennung _unicursal_,
die von Cayley den rationalen Kurven gegeben war, und die von vielen noch
heute gebraucht wird.

[406] _Gesammelte Werke_ 2, S. 433.

[407] _Math. Ann._ 12, 13; _Leipziger Ber._ 1884.

[408] _Math. Ann._ 6.

[409] _Annali di Matem._ II, 5 und 7.

[410] _Math. Ann._ 8.

[411] _Münchener Ber._ 1883.

[412] _Quart. Journ._ 9.

[413] Siehe die schon zitierte Abhandlung: _Om Flader af fjerde Orden med
Doppeltkeglesnit_.

[414] _Om Flader af fjerde Orden med Tilbagegangskeglesnit_ (Kopenhagen,
1881).

[415] _Münchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15, 18, 28, 29.

[416] Für den, der sich mit der Konstruktion spezieller Oberflächen
befassen will, führe ich die praktischen Regeln an, welche Hicks
(_Messenger of Mathematics_ II, 5) für die Konstruktion der Wellenfläche
gegeben hat.

[417] _Zeitschr. f. Math._ 25.

[418] _Modelle von Raumkurven- und Developpabelen-Singularitäten_ (Lund,
Gleerup, 1881).

[419] Unter den von Steiner ausgesprochenen Sätzen, nach deren Ursprung
wir, seine Nachfolger, vergebens suchen, finden sich einige derartige (s.
_Journ. für Math._ 37, 45, 49; _Gesammelte Werke_, II. Bd. S. 389, 439 und
613), welche glauben lassen, daß er eine Methode besessen habe, um einige
von den im Texte gekennzeichneten Problemen zu lösen. Etliche lassen sich
durch eine quadratische Transformation beweisen, wie Berner in seiner
Dissertation: _De transformatione secundi ordinis ad figuras geometricas
adhibita_ (Berlin, 1864) gezeigt hat. -- Jonquières (_Liouvilles Journ._
II, 6; _Comptes rendus_, 1864, 65 und 66) fand auch eine Weise, um zur
Lösung einiger Probleme dieser Art zu gelangen, aber der von ihm
eingeschlagene Weg (welcher der Hauptsache nach in einer Anwendung des
Bézoutschen Satzes besteht) führte ihn unbedingt zu Irrtümern wegen
uneigentlicher (fremder) Lösungen, die er nicht ausgeschieden hatte. Vgl.
die schöne Abhandlung von Study in den _Math. Ann._ 27.

[420] _Comptes rendus_, 1864; vgl. auch Zeuthen, _Nyt Bidrag til Laeren om
Systemer af Keglesnit_ (Kopenhagen, 1865) oder _Nouv. Ann._ II, 5; Dino,
_Comptes rendus_, 1867. Die Bände der _Comptes rendus_ von 1864 ab
enthalten eine ungeheuere Anzahl von Lehrsätzen verschiedener Art, die von
Chasles aufgestellt sind und deren Beweis sich auf die Theorie der
Charakteristiken und auf das Korrespondenzprinzip stützt. Unter diesen
Arbeiten ist eine der bemerkenswertesten diejenige, in welcher der
Verfasser mit Hilfe des Korrespondenzprinzips die Zahl der Schnitte zweier
Kurven in einer Ebene bestimmt (_Comptes rendus_ 75). Die dort angewandte
Beweisführung kann verallgemeinert werden und in vielen Fällen dazu dienen,
die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systemes von algebraischen
Gleichungen zu finden. (S. Saltel, _Mémoires de l'Académie de Belgique_ 24;
_Comptes rendus_ 81; Fouret, _Bull. Soc. math._ 1, 2; _Comptes rendus_ 78.

[421] _Comptes rendus_ 61.

[422] Ebendas. 62. S. auch Salmon, _Quart. Journ._ 1866; Schubert, _Journ.
für Math._ 71 und 73. -- Eine interessante Anwendung der Theorie der
Systeme von Flächen zweiter Ordnung auf das Studium der quadratischen
(vorletzten) Polaren der Punkte des Raumes in bezug auf eine beliebige
algebraische Fläche wurde von Zeuthen gemacht (_Annali di Matem._ II. 4).

[423] Vgl. auch _Comptes rendus_ 74, 75.

[424] Paris, 1871.

[425] _Journ. für Math._ 79, 80.

[426] _Göttinger Nachr._ 1874, 75; _Math. Ann._ 13.

[427] _Phil. Trans._ 1858.

[428] _Recherches sur les séries ou systèmes de courbes et de surfaces
algébriques_ (Paris, 1866); _Comptes rendus_, 1866; _Journ. für Math._ 66
u. s. w. Die eleganten analytischen Untersuchungen von Brill und Krey
(_Math. Ann._ und _Acta math._) haben zum Ziele die Auflösung von Problemen
aus der abzählenden Geometrie, die sich auf Systeme von Kurven und
Oberflächen beziehen.

[429] _Annali di Matem._ II, 6; _Proc. math. Soc._ 5, 6, 8.

[430] _Math. Ann._ 1, 6, 12, 15.

[431] _Compt. rend._ 88. Bemerkenswert in dieser Abhandlung ist die
Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve auf Systeme von
Kurven.

[432] _Math. Ann._ 6.

[433] _Comptes rendus_ 78 und 86; _Bull. Soc. math._ 2 und 7.

[434] _Comptes rendus_ 79, 86.

[435] das. 82, 84.

[436] das. 80.

[437] das. 82.

[438] Andere Anwendungen dieses Prinzipes finden sich in den von Fouret
veröffentlichten Arbeiten in den _Comptes rendus_ 83, 85, im _Bull. Soc.
math._ 6 und im _Bulletin de la Société philomathique_ VI, 11. -- Wir
bemerken, daß die geometrische Interpretation der Gleichung

    (   dz     dz     )     ( dz )     ( dz )
  L ( x -- + y -- - z ) - M ( -- ) - N ( -- ) + R = 0,
    (   dx     dy     )     ( dx )     ( dy )

wenn L, M, N, R lineare Funktionen sind, welche von Fouret in den _Comptes
rendus_ 83 gegeben ist, ihn zu gewissen Oberflächen führte, die zuerst von
Klein und Lie studiert worden waren (_Comptes rendus_ 70).

[439] Leipzig, 1879. In demselben sind die früheren Arbeiten von Schubert
vereinigt und befinden sich die Grundlagen seiner späteren Arbeiten.

[440] Das erste dieser Prinzipien wurde von Chasles für die rationalen
Gebilde erster Stufe (_Comptes rendus_ 1864-1866) ausgesprochen und dann
von Cayley auf alle Gebilde erster Stufe ausgedehnt (_Comptes rendus_ 62,
_Proc. math. Soc._ 1866), und noch vollständiger im _Second memoir on the
curves which satisfy given conditions_ (_Phil. Trans._ 158). Bewiesen wurde
das Cayleysche Prinzip von Brill (_Math. Ann._ 6 und 7), neuerdings wurde
es in einer sehr bemerkenswerten Weise von Hurwitz ausgedehnt (_Math. Ann._
28).

Saltel ergänzte das Chaslessche Korrespondenzprinzip, indem er die
Bestimmung der Zahl der Koinzidenzen, die ins Unendliche fallen, zeigte
(_Comptes rendus_ 80) und illustrierte seine Resultate durch mehrere
Beispiele (_Comptes rendus_ 80, 81, 82, 83, und _Bulletin de l'Académie de
Belgique_ II, 92).

Für die rationalen Gebilde zweiter und dritter Stufe hat man auch ein
Korrespondenzprinzip, welches von Salmon (_Geometry of three dimensions_
II. Aufl.) und von Zeuthen (_Comptes rendus_ 78) entdeckt ist. Für die
Gebilde höherer Stufe siehe eine Note von Pieri in den _Lincei Rend._ 1887.

[441] Betreffend andere bibliographische Einzelheiten über diesen Zweig der
Geometrie vgl. man den Artikel von Painvin, der in dem _Bull. Sciences
math._ 3 veröffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der _Bibliotheca
mathematica_ II, 2 (1888), S. 39, 67 veröffentlichten Artikel _Notizie
storiche sulla geometria numerativa_.

[442] _Comptes rendus_ 67.

[443] _Math. Ann._ 6.

[444] _Vorlesungen über Geometrie_ von A. Clebsch (herausgegeben von
Lindemann) (Leipzig, 1876) S. 399.

[445] _Göttinger Nachr._ 1876.

[446] _Comptes rendus_, 1876; _Journ. Éc. polyt._ 45; _Proc. math. Soc._ 9,
10; _Math. Ann._ 15.

[447] _Journ. Éc. polyt._ 45.

[448] Auch von dem Satze, den Cremona ausgesprochen hat (_Annali di Matem._
I, 6 und _Giorn. di Matem._ 3) über die doppelt unendlichen Systeme von
Kegelschnitten, als Erweiterung des Satzes von Chasles, kann man eine
Anwendung machen, worüber man das einsehen möge, was del Pezzo in seiner
interessanten Abhandlung _Sui sistemi di coniche_ (_Napoli Rend._ 1884)
auseinandergesetzt hat, und neuere Beobachtungen von Study (_Math. Ann._
27).

[449] _Mém. prés._ 1, 1806.

[450] das. (ältere Serie) 10, 1785, und die schon zitierte _Application_.

[451] _Mém. prés._ 9, 1781.

[452] _Journ. Éc. polyt._ 30.

[453] _Liouvilles Journ._ 17.

[454] das. 16.

[455] Man sehe die Noten zur _Application de l'Analyse à la Géométrie_, 5.
Aufl. und _Liouvilles Journ._ 17.

[456] _Liouvilles Journ._ 15, 16.

[457] das. 7.

[458] _Forhandlingar i Videnskab-Selskabet i Christiania_, 1882.

[459] Eingehenderes findet man in der Note 65 der _Analytischen Geometrie
des Raumes_ von G. Salmon, deutsch bearbeitet von W. Fiedler, 3. Aufl.
1880, II. Teil S. 37. -- In Bezug auf eine synthetische Darstellung der
Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man Schell, _Allgemeine Theorie
der Kurven doppelter Krümmung in rein geometrischer Darstellung_ (Leipzig,
1859), und Paul Serret, _Théorie nouvelle géométrique et mécanique des
courbes à double courbure_ (Paris, 1860).

[460] Vgl. Magnus, _Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie
des Raumes,_ 1837, S. 160.

[461] Die Existenz zweier Raumkurven vierter Ordnung wurde zuerst durch
Salmon im Jahre 1850 (_Cambridge Journ._ 5) und darauf von Steiner (_Journ.
für Math._ 53) bekannt gemacht.

[462] Auf der kubischen Fläche treten schon von der sechsten Ordnung ab
gegen die Geraden der Fläche verschiedenartig sich verhaltende Kurven
derselben Ordnung auf, die in der Zahl der scheinbaren Doppelpunkte
übereinstimmen. Vgl. Sturm, _Math. Ann._ 21.

[463] _Liouvilles Journ._ 10, oder _Cambridge Journ._ 5. Dieser Abhandlung
folgte eine, die von Salmon in demselben Bande des _Cambr. Journ._
veröffentlicht wurde, und zu ihrer Ergänzung wiederum dient eine von
Zeuthen, die in den _Annali di Matem._ II, 3 abgedruckt ist. -- An sie
schließen sich ferner die Schriften, welche Cayley (_Phil. Trans._ 153),
Piquet (_Comptes rendus_ 77 und _Bull. Soc. math._ 1), und Geiser
(_Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_, Mailand, 1881)
geschrieben haben über die Geraden, welche eine Raumkurve eine gewisse
Anzahl Male schneiden.

[464] _Comptes rendus_ 54 und 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man die
Dissertation von Ed. Weyr, _Über algebraische Raumkurven_ (Göttingen, 1873)
und andere Schriften desselben Verfassers (_Comptes rendus_ 76, _Wiener
Ber._ 69). Den zitierten Abhandlungen von Cayley müßte ich noch eine dritte
hinzufügen (_Quart. Journ._ 3), in welcher der Autor sich die Aufgabe
gestellt hat, eine Kurve als Komplex ihrer Sekanten (im Sinne Plückers) zu
betrachten und sie daher mittelst einer einzigen Gleichung zwischen den
Koordinaten einer Geraden im Raume darzustellen, aber ich kann davon
absehen, da die Fruchtbarkeit einer solchen Betrachtung noch nicht
dargethan ist.

[465] Halphen, _Mémoire sur la classification des courbes gauches
algébriques_ (_Journ. Éc. polyt._ 52). Man sehe auch desselben Autors
Abhandlung _Sur les singularités des courbes gauches algébriques_ (_Bull.
Soc. math._ 9). -- Nöther, _Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen
Raumkurven_ (_Berliner Abh._ 1883, _Journ. für Math._ 93).

[466] _Comptes rendus_ 70; _Bull. Soc. math._ 1 und 2.

[467] _Math. Ann._ 7.

[468] _Math. Ann._ 6. Ein anderer Beweis desselben Satzes wurde von Halphen
gegeben, _Bull. Soc. math._ 5.

[469] Die Gerechtigkeit verlangt, daß ich auch noch eine sehr schöne Arbeit
von Valentiner anführe: _Bidrag til Rumcurvener Theori_ (Kopenhagen, 1881)
(vgl. auch _Tidsskrift for Math._ IV, 5 und _Acta math._ 2), die fast zu
gleicher Zeit mit denen von Halphen und Nöther erschienen ist und mit
diesen in den Methoden und den Resultaten bemerkenswerte Berührungspunkte
hat. -- Ich will in dieser Note auch noch, da ich es im Texte nicht thun
konnte, einen Satz von Cremona anführen (von Dino in den _Napoli Rend._
1879 bewiesen) und einige von Sturm (_Report of the British Association_,
1881; _Math. Ann._ 19), welche bemerkenswerte allgemeine Eigenschaften der
Raumkurven ausdrücken, sowie an die Untersuchungen von Cayley, Piquet und
Geiser über eine Raumkurve mehrmals schneidende Geraden erinnern, von denen
in der Note 463 gesprochen wurde. Erwähnenswert ist auch die (von Hoßfeld
in der _Zeitschr. f. Math._ 29 gefundene) Thatsache, daß die Rückkehrkurve
der zweien Oberflächen umbeschriebenen abwickelbaren Fläche nicht der
vollständige Schnitt zweier Oberflächen ist.

[470]

  »Von anderen wird es löblich sein zu schweigen,
  Weil allzukurz die Zeit für die Erzählung.«
  -- Dantes Göttliche Komödie; _Die Hölle_, 15. Gesang, Vers 104-105.

[471] _Der barycentrische Calcül_ (Leipzig, 1827).

[472] _Aperçu historique,_ Note 33; _Liouvilles Journ._ 19 (1854).

[473] _Beiträge zur Geometrie der Lage_, 3. Heft (Nürnberg, 1860).

[474] _Grunerts Arch._ 10.

[475] _Journ. für Math._ 56.

[476] _Journ. für Math._ 58, 60, 63; _Nouv. Ann._ II, 1; _Annali di Matem._
I, 1, 2, 5; _Lombardo Rend._ II, 12.

[477] _Journ. für Math._ 56; _Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und
der Raumkurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1880); _Math. Ann._ 25. Vgl. auch
eine Note von mir in den _Napoli Rend._, 1885.

[478] _Zeitschr. für Math._, 1868; _Geometrie der Lage_.

[479] _Lombardo Rend._ 1871.

[480] _Journ. für Math._ 79, 80; _Annali di Matem._ II, 3.

[481] _Math. Ann._ 20 und 30.

[482] _Torino Mem._ II, 32 und _Collectanea mathematica_. An diese
Abhandlungen schließt sich eine von Gerbaldi, _Sui sistemi di cubiche gobbe
o di sviluppabili di III. classe stabiliti col mezzo di due cubiche
punteggiate projettivamente_ (_Torino Mem._ II, 32).

[483] _Giorn. di Matem._ 17 (1879). Betreffend die ausgearteten Formen der
kubischen Raumkurve sehe man eine Note von Schubert (_Math. Ann._ 15). Die
Theorie der kubischen Raumkurven führt zu einer interessanten geometrischen
Darstellung der Theorie der binären algebraischen Formen, die von Laguerre
(_L'Institut_ 40), von Sturm (_Journ. f. Math._ 86) und von Appell (_Ann.
Éc. norm._ II, 5) bearbeitet wurde. Vgl. auch eine Note von J. Tannery
(_Bull. sciences math._ 11). Ferner sehe man in bezug hierauf die Note von
W. R. W. Roberts (_Proc. math. Soc._ 13) und das Buch von Franz Meyer,
_Apolarität und rationale Kurven_ (Tübingen, 1883). Eine gute Darlegung der
Theorie der Raumkurven dritter Ordnung hat auch von Drach geliefert in der
Schrift _Einleitung in die Theorie der kubischen Kegelschnitte_ (Leipzig,
1867), infolge deren Beltrami interessante _Annotazioni_ geschrieben hat
(_Lombardo Rend._ II, 1).

[484] _Comptes rendus_ 53 (1861).

[485] _Annali di matem._ 4. -- Die Note von Story, _On the number of
intersections of curves traced on a scroll of any order_ (_Johns Hopkins
Baltimore University Circulars_ 2, 1883) enthält eine Verallgemeinerung
eines sehr wichtigen Theoremes von Chasles.

[486] Poncelet machte im Jahre 1822 die bemerkenswerte Entdeckung, daß
durch jede Raumkurve vierter Ordnung erster Art vier Kegel zweiten Grades
hindurchgehen. (S. _Traité des proprietés projectives_ I, S. 385, 2. Aufl.)

[487] _Comptes rendus_ 54, 55.

[488] _Comptes rendus_ 54; _Bologna Mem._ 1861; _Lombardo rend._ II, 1.

[489] _Annali di Matem._ II, 2.

[490] _Géometrie de direction_ (Paris, 1869); _Comptes rendus_ 82.

[491] _Liouvilles Journ._ II, 15.

[492] _Journ. für Math._ 97. -- Eine bemerkenswerte spezielle Raumkurve
vierter Ordnung erster Art hat Schröter untersucht: _Journ. für Math._ 93.

[493] _Math. Ann._ 12, 13.

[494] _Zeitschr. f. Math._ 28.

[495] _Math. Ann._ 13. Vgl. Cayley (das. 25).

[496] _Comptes rendus_ 82.

[497] _Annali di Matem._ I, 4.

[498] _Giorn. di Matem._ 11, 12.

[499] _Lombardo rend._ 1872.

[500] _Wiener Ber._ 1871. Über die rationalen Kurven vierter Ordnung sehe
man auch Study (_Leipziger Sitzungsber._ 1886), die _Habilitationsschrift_
von Jolles (Aachen, 1886) und die Abhandlung von Roberts (_Proc. math.
Soc._ 14). -- Unter den rationalen Kurven vierter Ordnung ist eine sehr
bemerkenswerte diejenige, welche zwei stationäre Tangenten hat. Die
eleganten Eigenschaften, welche dieselbe besitzt, wurden von Cremona
(_Lombardo Rend._ 1868), Em. Weyr (das. 1871) und Appell (_Comptes rendus_
83) entdeckt.

[501] _Comptes rendus_ 70.

[502] _Vierteljahrsschrift der naturf. Ges. in Zürich_ 20.

[503] Außer den zitierten _Synthetischen Untersuchungen_ sehe man _Journ.
für Math._ 88 und _Math. Ann._ 21.

[504] S. Korndörfer und Brill, _Math. Ann._ 3; Saltel, _Comptes rendus_ 80;
Genty, _Bull. Soc. math._ 9.

[505] Siehe unter anderem die Bemerkung von Buchheim, _On the extension of
certain theories relating to plane cubics to curves of any deficiency_
(_Proc. math. Soc._ 13).

[506] _Collectanea mathematica_.

[507] _Journ. für Math._ 99.

[508] Chasles, _Aperçu historique_, 2. Aufl., S. 269; in der deutschen
Übersetzung von Sohncke, S. 267.

[509] Diese Konstruktion, die von den Deutschen »Steinersche Projektion«
genannt wird, wurde im Jahre 1865 von neuem von Transon (1806-1876)
gefunden, der ihr den Namen »_projection gauche_« gab (_Nouv. Ann._ II, 4
und 5).

[510] _Traité des propriétés projectives_ (1. Aufl. 1822, S. 198).

[511] _Journ. für Math._ 5.

[512] _Journ. für Math._ 8, und _Aufgaben und Lehrsätze aus der
analytischen Geometrie der Ebene_, 1833.

[513] _Torino Mem._ 1862.

[514] _Grunerts Arch._ 7.

[515] _Zeitschr. f. Math._ 11.

[516] _Liouvilles Journ_. 10, 12. Vorher hatten schon G. Bellavitis (_Nuovi
Saggi dell' Accademia di Padova_ 4 (1836) und Stubbs (_Phil. Mag._ 23,
1843) sich mit dieser Korrespondenz beschäftigt. Man sehe auch Steiners
Aufsatz aus dem Jahre 1826: _Einige geometrische Betrachtungen_ (_Journ.
für Math._ 1; _Gesammelte Werke_ Bd. I, S. 19) Nr. 20.

[517] Auf den Begriff der Inversion ist von Johnson (Analyst 4) eine neue
Einteilung der ebenen Kurven gegründet worden. In derselben bedeutet der
Name »Kreisgrad« einer Kurve den Grad ihrer Gleichung (in rechtwinkligen
cartesischen Koordinaten) in x, y, r = x^2 + y^2; der Kreisgrad einer Kurve
wird durch die Inversion nicht verändert. Zwei Kurven, welche denselben
Grad haben, gehören zu derselben Kategorie. Diese Einteilung scheint jedoch
nicht von großer Wichtigkeit zu sein.

[518] _Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie
der Ebene_, 1833.

[519] In den Jahren 1859 und 1860 studierte Jonquières die (nach seinem
Namen benannte) Transformation n^{ter} Ordnung, bei welcher jeder Geraden
eine Kurve n^{ter} Ordnung mit einem (n - 1)-fachen Punkte entspricht.
Einige seiner Resultate wurden im Jahre 1864 in den _Nouv. Ann._
veröffentlicht, aber das vollständige Werk, welches er dieser
Transformation widmete, erschien erst 1885 und zwar durch Guccia (s.
_Giorn. di Matem._ 23) herausgegeben. Wir bemerken auch, daß schon 1834
Möbius (_Journ. für Math._ 12; _Gesammelte Werke,_ 1) die eindeutige
Korrespondenz zwischen zwei Ebenen, bei denen die Flächeninhalte
entsprechender Figuren in einem konstanten Verhältnisse stehen, studiert
hat. Die Untersuchungen sind jedoch von ganz anderer Art als die im Texte
betrachteten.

[520] _Bologna Mem._ 2, 5 (1863 und 1865); _Giorn. di Matem._ 1 und 3; vgl.
auch Dewulfs Bearbeitung im _Bull. sciences math._ 5.

[521] _Proc. math. Soc._ 3.

[522] _Math. Ann._ 4.

[523] _Math. Ann._ 3, 5.

[524] _Journ. für Math._ 73.

[525] _Proc. math. Soc._ 4.

[526] Hier will ich einen wichtigen Lehrsatz berühren, der gleichzeitig von
Clifford (_Proc. math. Soc._ 3), Nöther (_Göttinger Nachr._ 1870; _Math.
Ann._ 3) und Rosanes (_Journ. für Math._ 73) erhalten wurde, und für einen
Augenblick die Wichtigkeit der Cremonaschen Transformation aufzuheben
schien: »Jede eindeutige Transformation von höherer als erster Ordnung kann
man durch Wiederholung von quadratischen Transformationen erhalten.« Dieser
Satz ist offenbar die Umkehrung desjenigen von Magnus, der vorhin im Texte
angeführt wurde.

[527] _Bologna Mem._ 1877-1878.

[528] _Comptes rendus_, 1885; _Giorn. di Matem._ 24.

[529] _Annali di Matem._ II, 10.

[530] _Comptes rendus_, 1885; _Rendic. del Circolo Matematico di Palermo_
1.

[531] Man sehe die in den _Comptes rendus_, 1883, 1884, 1885, 1886 und in
_Liouvilles Journ._ 1885, 1886, 1887 veröffentlichten Abhandlungen.

[532] _Annali di Matem_. 7, ferner _Giorn. di Matem_. 4.

[533] _Proc. math. Soc._ 2.

[534] _Math. Ann._ 26.

[535] _Bull. sciences math._ II, 6 und 7.

[536] Meistenteils wurden die geometrischen Transformationen auf das
Studium der algebraischen Kurven angewandt; jedoch fehlt es nicht an
Schriften, welche sich mit der Transformation transcendenter Kurven in
andere oder in sich selbst befassen: z. B. Magnus, _Sammlung von Aufgaben
und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie der Ebene_, 1833, S. 320,
455, 457-459, 497; Klein und Lie, _Math. Ann._ 4.

[537] _Annali di Matem._ II, 8; _Lombardo Rend._ 1883. Vgl. auch Geiser,
_Journ. für Math._ 67.

[538] _Napoli Rend._, 1879.

[539] Die neueste Form, welche die Bertinischen Untersuchungen infolge
dessen angenommen, machte es meinem Freunde Martinetti leichter, auf dem
von diesem Gelehrten vorgezeichneten Wege weiter zu schreiten und die
ebenen involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse zu
bestimmen (_Annali di Matem._ II, 12, 13). Die Theorie der ebenen
Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von
Kantor bereichern, welche von der Akademie zu Neapel gekrönt worden ist und
jetzt gedruckt wird. Einzelne Resultate finden sich in den _Wiener Ber._
1880 ausgesprochen, sowie in den _Wiener Denkschriften_ 46.

Saltel verdanken wir die Idee einer speziellen involutorischen
Transformation dritten Grades, die er schon 1872 unter dem Namen
»_Transformation arguesienne_« nach Desargues benannt (s. die _Mémoires de
l'Académie de Belgique_ 12, _Bulletin de l'Académie de Belgique_ II, 24),
studiert hat. Man stellt dieselbe auf folgende Weise her: Gegeben sind in
einer festen Ebene [PI] zwei Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 und ein
fester Punkt O; man läßt entsprechen einem Punkte P von [PI] seinen
konjugierten in der Involution, die auf der Geraden OP bestimmt wird durch
den Kegelschnittbüschel, den [GAMMA]_1, und [GAMMA]_2 konstituieren. Es
sind fundamental der Punkt O und die Grundpunkte dieses Büschels. -- Wenn
jene beiden Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 zusammenfallen, so
reduziert sich diese Transformation offenbar auf die quadratische Inversion
von Hirst. -- Im Raume hat man eine ähnliche Transformation. -- Eine andere
Transformation (»_transformation hyperarguesienne_«) wurde von demselben
Verfasser als Erweiterung der vorhergehenden eingeführt (_Bulletin de
l'Académie de Belgique_ II, 12) und wird auf folgende Weise hergestellt:
Gegeben in einer Ebene [PI] drei Kegelschnitte [GAMMA]_1, [GAMMA]_2,
[GAMMA]_3 und ein fester Punkt O. Man läßt einem Punkte P von [PI] seinen
homologen entsprechen in der Projektivität, die bestimmt ist auf OP von den
drei Paaren von Punkten, in welchen diese Gerade von den drei
Kegelschnitten getroffen wird; jedoch ist diese Korrespondenz offenbar
nicht birational. -- Die erste der Saltelschen Transformationen kann zur
Lösung von Problemen aus der Theorie der Charakteristiken für die Kurven
höherer als zweiter Ordnung dienen (_Bull. Soc. Math._ 2).

[540] _Bull. Soc. math._ 8; _Comptes rendus_ 94; _Nouv. Ann._ III, 1, 2.
Diese Transformation kann man, wie Laguerre selbst bemerkte, auf den Raum
ausdehnen (_Comptes rendus_ 92), jedoch ist die Art der Korrespondenz, die
man erhält, keine neue; sie ist nach einer Bemerkung von Stephanos
(_Comptes rendus_ 92) dieselbe, vermittelst derer Lie die Geometrie der
Geraden mit der der Kugel verknüpfte (_Math. Ann._ 5).

[541] Die verschiedenen Abhandlungen von Möbius über diese Theorie finden
sich vereint im II. Bande seiner _Gesammelten Werke_ (Leipzig, 1886).

[542] _Journ. für Math._ 55, 57, 59; _Grunerts Arch._ 33.

[543] _Grunerts Arch._ 42.

[544] _Bologna Mem._ 1870.

[545] _Journ. für Math._ 69.

[546] Des Näheren siehe die Abhandlung: _Géometrie des polynomes_ (_Journ.
Éc. polyt._ 28).

[547] _Beiträge zur geometrischen Interpretation binärer Formen_ (Erlangen,
1875); vgl. _Math. Ann._ 9; _Studien im binären Wertgebiete_ (Karlsruhe,
1876); _Math. Ann._ 17; _Erlanger Berichte_, 1875.

[548] Siehe das Werk: _Einführung in die Theorie der isogonalen
Verwandtschaften_ (Leipzig, 1883).

[549] Zwischen drei geometrischen Gebilden kann man eine Korrespondenz
aufstellen, so daß einem Paare von Elementen, das eine genommen in dem
einen, das andere in einem zweiten, eindeutig ein solches im dritten
Gebilde entspricht. Wenn unter Festhaltung eines Elementes die anderen
beiden projektive Systeme beschreiben, so nennt man die Korrespondenz
trilinear, und diese wurde im Falle der Gebilde erster Stufe von Rosanes
(_Journ. für Math._ 1888) behandelt, sodann von Schubert (_Math. Ann._ 17
und _Mitteilungen der Math. Ges. in Hamburg_, 1881) und in einem
Spezialfalle von Benno Klein (_Theorie der trilinear-symmetrischen
Elementargebilde_, Marburg, 1881); im Falle der Gebilde zweiter Stufe von
Hauck (_Journ. für Math._ 90, 97, 98), welcher einige Anwendungen derselben
auf die darstellende Geometrie machte, die von bemerkenswertem praktischen
Nutzen zu sein scheinen.

Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in denen
Le Paige mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die trilineare
Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man sehe die
_Essais de Géométrie supérieure du troisième ordre_ (_Mém. de la Soc. des
sciences de Liège_ II, 10) und die Noten, welche im _Bulletin de l'Académie
de Belgique_ III, 5 und in den _Wiener Ber._ 1883 veröffentlicht sind.
Derselbe Geometer beschäftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung
(_Torino Atti_ 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen
Flächen und gewisse Flächen vierter Ordnung (_Bulletin de l'Académie de
Belgique_ III, 4; _Acta math._ 5).

Wir unterlassen nicht, zu erwähnen, daß die duploprojektive Beziehung,
durch welche schon 1862 F. August die kubische Oberfläche erzeugte
(_Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner Dissertation_),
eine trilineare Beziehung ist.

[550] Wenn z. B. ein Dreieck ABC gegeben ist, so sei P ein beliebiger Punkt
seiner Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt K, welcher die Seiten des
Dreieckes in den Punkten (PA, BC), (PB, CA), (PC, AB) berührt. Läßt man K
dem P entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte
angegebenen Art. Ähnlich erhält man eine duale Korrespondenz. Beide wurden
von Montag in seiner Dissertation: _Über ein durch die Sätze von Pascal und
Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem_ (Breslau, 1871)
studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus der Beobachtung
entnehmen, daß jeder Punkt der Ebene ABC der Mittelpunkt eines
Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke ABC eingeschrieben ist, eines ihm
umgeschriebenen und eines solchen, für welchen ABC ein Polardreieck ist.
Ähnlich: Gegeben ein Tetraeder ABCD; man kann jedem Punkte P des Raumes die
Fläche zweiter Ordnung zuordnen, für welche P das Zentrum ist und in bezug
auf welche ABCD ein Polartetraeder ist.

[551] _Math. Ann._ 6.

[552] Man sehe außerdem die Arbeiten von Godt (_Göttinger Dissertation_,
1873), Armenante (_Lincei Atti_, 1875), Battaglini (_Giorn. di Matem._ 19,
20), Peano (_Torino Atti_ 16) und von Amodeo (_Napoli Rend._ 1887). Die den
Konnexen analogen Figuren im Raume wurden von Krause behandelt (_Math.
Ann._ 14). Man sehe auch zwei Noten von Lazzeri, _Sulle reciprocità
birazionali nel piano e nello spazio_ (_Lincei Rend._ 1886).

[553] _Gauss' Werke_, 4. Bd. Eine italienische Übersetzung wurde von
Beltrami in den _Annali di Matem_. 4 veröffentlicht.

[554] Die Methoden, die geographischen Karten zu konstruieren, gehören in
die Anwendungen der Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter
denjenigen, deren Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen
daher den, der alle diejenigen kennen lernen will, welche angewandt worden
sind, auf die Schriften von Fiorini, _Le projezioni delle carte
geografiche_ (Bologna, 1881) und Zöppritz, _Leitfaden der
Kartenentwurfslehre_ (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur machen mit
den Arbeiten von Tissot (_Comptes rendus_ 49; vgl. auch Dini, _Memoria
sopra alcuni punti della teoria delle superficie_ [Florenz, 1868]; _Journ.
Éc. polyt._ 37; _Nouv. Ann._ II, 17 flgg.), weil sie ein großes Interesse
auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben.

[555] Diese Abbildung, die man heute die »sphärische« nennt, wurde vor Gauß
von O. Rodrigues im Jahre 1815 angegeben; jedoch hat dieser ihre ganze
Fruchtbarkeit nicht so in das Licht gestellt als der große deutsche
Geometer.

[556] _Journ. für Math._ 34.

[557] _Comptes rendus_, 53.

[558] _Phil. Mag._ 1861.

[559] _Journ. für Math._ 68, oder _Grundzüge einer allgemeinen Theorie der
Oberflächen_ (Berlin, 1870), III. T.

[560] _Journ. für Math._ 65.

[561] _Math. Ann._ 1.

[562] S. _Journ. für Math._, _Math. Ann._ und _Göttinger Nachr._ und _Abh._

[563] _Math. Ann._ 4; _Annali di Matem._ II, 1; _Göttinger Nachr._ 1871 und
viele andere Abhandlungen, welche in den _Lombardo Rend._ und den _Bologna
Mem._ stehen. In der Abhandlung in den _Annali_ studierte Cremona die
Regelflächen (m + n)^{ten} Grades, welche eine m-fache und eine n-fache
Leitlinie haben, und fand, daß deren asymptotische Kurven im allgemeinen
algebraische Kurven von der Ordnung 2(m + n - 1) sind. Eine Konstruktion
dieser Kurven wurde später von Halphen angegeben (_Bull. Soc. math._ 5).

[564] _Math. Ann._ 3; vgl. auch das. 21, dann ziehe man auch noch eine
Abhandlung von Brill hinzu (_Math. Ann._ 5).

[565] _Annali di Matem._ II, 1.

[566] _Math. Ann._ 4.

[567] _Math. Ann._ 1.

[568] _Annali di Matem._ II, 7.

[569] Z. B. sehe man Darboux (_Bull. Soc. math._ 2), Frahm (_Math. Ann._
7), Lazzeri (_Annali della Scuola nuova sup. di Pisa_, 6), Guccia
(_Association française pour l'avancement des sciences, Congrès de Reims_,
1880).

[570] Ein wichtiger Begriff, den Clebsch bei seinen Studien über die
Abbildung der Regelflächen aufstellte (_Math. Ann._ 5), ist der des Typus
einer Fläche. Zwei Flächen sind von demselben Typus, wenn bei der Abbildung
der einen auf die andere es keine Fundamentalpunkte giebt, z. B, ist die
römische Fläche von Steiner von demselben Typus mit der Ebene.

[571] S. die _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_.

[572] _Comptes rendus_, 1868.

[573] _Math. Ann._ 3.

[574] _Annali di Matem._ II, 5; _Göttinger Nachr._ 1871 und 1873.

[575] _Math. Ann._ 4, 9, 10.

[576] Die Flächen vierter Ordnung, von denen man die Abbildung auf eine
Ebene kennt, sind die rationalen Regelflächen, die römische Fläche, die
Oberflächen mit einer Doppelgeraden oder einem doppelten Kegelschnitte, die
Monoide und eine Oberfläche, die einen uniplanaren Doppelpunkt hat (s. eine
Abhandlung von Nöther in den _Göttinger Nachr._ 1871 und eine von Cremona
in den _Collectanea mathematica_). Wer die Abbildung einer Oberfläche auf
einer anderen studieren will, darf die schönen Untersuchungen von Zeuthen
(s. die vorige Note und _Comptes rendus_, 1870) nicht übergehen und die
darauf folgenden von Krey (_Math. Ann._ 18) und Voß (_Math. Ann._ 27);
einen nicht geringen Nutzen kann er auch aus der von Kantor (_Journ. für
Math._ 95) aufgestellten Korrespondenz ziehen, die zwischen den Punkten
einer gewissen kubischen Fläche und gewissen Tripeln von Punkten einer
Ebene besteht.

[577] _Math. Ann._ 3.

[578] _Math. Ann._ 3.

[579] _Aperçu historique_, Note 28.

[580] _Lincei Mem._ 1876, 1877, 1878. Vgl. eine Note von Nöther in den
_Erlanger Sitzungsberichten_, 1878.

[581] _Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. d. Raumes_, S. 403 flg.

[582] _Journ. für Math._ 49.

[583] S. Note 563. Vgl. auch Sturm, _Math. Ann._ 19.

[584] _Proc. Math. Soc._ 3.

[585] _Math. Ann._ 3.

[586] _Lombardo Rend._ 1871; _Annali di Matem._ II, 5; _Bologna Mem._
1871-1872. Man sehe auch die neuesten Arbeiten desselben Geometers in den
_Transactions of Edinburgh_ 32, II. Th. und in den _Irish Trans._ 28 und
_Proc. math. Soc._ 15.

[587] _Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. des Raumes_, 1837, S.
417-418, Anmerkung.

[588] Unter diesen führe ich die Abhandlung von de Paolis an: _Sopra un
sistema omaloidico formato da superficie d'ordine_ n _con un punto_ (n -
1)_-plo (Giorn. di Matem._ 13) die späteren über einige spezielle
involutorische Transformationen des Raumes von Martinetti (_Lombardo Rend._
1885) und von Paolis (_Lincei Trans._, 1885). -- Ich bemerke hier, was ich
im Texte nicht thun konnte, daß es möglich ist, das Punktfeld auf einer
Geraden abzubilden und den Punktraum auf einer Ebene. Um erstere Abbildung
auszuführen, kann man jedem Punkte der Ebene ein Punktepaar der Geraden
entsprechen lassen (Übertragungsprinzip von Hesse, _Journ. für Math._ 66).
Bei der zweiten kann man einem Punkte des Raumes den Kreis zuordnen, der
den Fußpunkt des von jenem auf die darstellende Ebene gefällten Lotes zum
Mittelpunkt und zum Radius die Länge dieses Lotes hat, indem man hinzufügt,
daß dieser Kreis in dem einen Sinne durchlaufen wird, wenn der Punkt auf
der einen (bestimmten) Seite der Ebene liegt, im entgegengesetzten Sinne,
wenn auf der anderen. Die Gesetze dieser Korrespondenz wurden von Fiedler
vereinigt, um die Cyklographie zu bilden (s. das Werk _Cyklographie_,
Leipzig, 1883, und die dritte Ausgabe der _Darstellenden Geometrie_) und
wurden von ihm zur Lösung einiger Probleme angewandt (s. einige
_Mitteilungen_ für die naturforschende Gesellschaft in Zürich und _Acta
math._ 5). Vor ihm jedoch hatte schon Crone verwandte Fragen in einer
Dissertation behandelt, die sich in der _Tidsskrift for Mathematik_ 6
findet.

[589] Chasles, _Aperçu historique_, 2. Ausg. S. 196.

[590] Magnus, _Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der anal. Geom. der
Ebene_, 1833, S. 188 und 198.

[591] Voß, _Math. Ann._ 13; Segre, _Torino Mem._ II, 37; Sturm, _Math.
Ann._ 26. In diesen Abhandlungen wird der Leser auch die weiteren
bibliographischen Einzelheiten finden.

[592] Sturm, a. a. O.; Montesano, _Lincei Mem._ 1886.

[593] Lüroth, _Math. Ann._ 11, 13; Schröter (das. 20); Veronese, _Lincei
Mem._ 1881. S. auch einige der Abhandlungen, die sich in den _Gesammelten
Werken_ von Möbius 2 finden. Auch die Arbeiten von Rosanes führen wir hier
an (_Journ. für Math._ 88, 90, 95, 100), von Sturm (_Math. Ann._ 1, 6, 10,
12, 15, 19, 22, 28; _Proc. math. Soc._ 7), und von Pasch (_Math. Ann._ 23,
26), die verwandte Gegenstände behandeln; dann noch die von Stephanos
(_Math. Ann._ 23), von H. Wiener (_Rein geometrische Theorie der
Darstellung binärer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden_, Darmstadt,
1885), von Segre (_Torino Mem._ II, 28 und _Journ. für Math._ 100), von
Sannia (_Lezioni di geometria projettiva_, in Neapel im Drucke befindlich)
über die Kollineationen und Korrelationen.

[594] _Math. Ann._ 3.

[595] _Giorn. di Matem._ 10.

[596] Man sehe die beiden von ihm 1884 zu Messina veröffentlichten
Abhandlungen.

[597] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1885.

[598] _Die Geometrie der Lage._

[599] _Giorn. di Matem._ 21.

[600] _Lombardo Rend._ II, 14 und 15.

[601] _Journ. für Math._ 94.

[602] _Lincei Mem._ 1884-1885.

[603] _Wiener Ber._ 1881; _Journ. für Math._ 97.

[604] _Math. Ann._ 19 und 28.

[605] _Math. Ann._ 23.

[606] _Journ. für Math._ 82, in dem Aufsatze über reciproke Verwandtschaft
von F^2-Systemen und [Phi]^2-Geweben.

[607] Über das gemeine Nullsystem vergl. die Note 610 des nächsten
Abschnittes

[608] »Bis in die neueren Zeiten stand die analytische Methode, wie sie
Cartesius geschaffen, sozusagen nur auf einem Fuße. Plücker kommt die Ehre
zu, sie auf zwei gleiche Stützen gestellt zu haben, indem er ein
ergänzendes Koordinatensystem einführte. Diese Entdeckung war daher
unvermeidlich geworden, nachdem einmal die Tiefblicke Steiners dem Geiste
der Mathematiker zugeführt waren.« Sylvester, _Phil. Mag_. III, 37, 1850,
S. 363. Vgl. _Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik_ 2, S. 453.

[609] S. _Phil. Trans._, 1865, S. 725; 1866, S. 361.

[610] Es ist wohl zu beachten, daß ein linearer Komplex ein reciprokes
Nullsystem veranlaßt und daß dieses zuerst von Giorgini (_Memorie della
Società italiana delle scienze_ 20, 1827), dann aber auch von Möbius
(_Lehrbuch der Statik_ I; vgl. auch _Journ. für Math._ 10, 1833) und von
Chasles (_Aperçu historique_, 1837) in ihren statischen und kinematischen
Untersuchungen und von demselben Chasles und Staudt bei der Bestimmung der
involutorischen reciproken Beziehungen gefunden wurde.

[611] _Cambridge Trans._ 11, Teil 2; _Quart. Journ._ 3.

[612] _Giorn. di Matem._ 6, 7, 10, 18. Wenn auch Battaglini seinen Studien
über die quadratischen Komplexe eine Gleichung zu Grunde legte, die nicht
den allgemeinsten Komplex ihres Grades darstellt, so gelten doch viele von
den Schlüssen, die er gemacht hat, -- man kann sagen alle, mit Ausnahme
derjenigen, welche sich auf die singuläre Fläche und die singulären
Strahlen des Komplexes beziehen -- für allgemeine Komplexe, indem sie
unabhängig sind von der Gestalt dieser Gleichung. Auch die von ihm
aufgestellten Formeln passen sich mit leichten Änderungen größtenteils dem
allgemeinen Falle an.

[613] Leipzig, 1868-1869.

[614] S. dessen _Examen des différentes méthodes_ etc.

[615] _Math. Ann._ 2, 5, 7, 22, 23 (darin der Wiederabdruck der 1868 in
Bonn erschienenen Dissertation: _Über die Transformation der allgemeinen
Gleichung des zweiten Grades zwischen Linienkoordinaten auf eine kanonische
Form_), 28. Außerdem enthalten viele Arbeiten von Klein über Fragen der
höheren Algebra oder der höheren Analysis, die in den _Math. Ann._ und
sonst veröffentlicht sind, ziemlich oft Betrachtungen, welche der Geometrie
der Geraden angehören.

[616] _Torino Mem._ II, 36.

[617] _Journ. für Math._ 75, 76; _Habilitationsschrift_ (Gießen, 1870).

[618] _Math. Ann._ 1.

[619] _Math. Ann._ 2.

[620] _Lincei Mem._ 1884-1885.

[621] _Math. Ann._ 2, 5.

[622] _Math. Ann._ 7. Man kann es nur beklagen, daß die in verschiedener
Beziehung so ausgezeichnete Arbeit von Weiler eine große Zahl von
Ungenauigkeiten enthält.

[623] _Math. Ann._ 8, 9, 10, 12, 13. S. auch Schubert das. 12 und dessen
_Abzählende Geometrie_.

[624] _Comptes rendus_ 74, 75;_ Bull. Soc. math._ 1.

[625] _Göttinger Nachr._ 1869.

[626] _Göttinger Nachr._ 1869.

[627] _Lincei Mem._ 1877-1878.

[628] _Giorn. di Matem._ 8; _Lombardo Rend._ II, 12, 13, 14.

[629] _Math. Ann._ 5. Vgl. eine Abhandlung von Cremona, gelesen vor der
_Accademia dei Lincei_ (_Atti_ II, 3).

[630] _Journ. für Math._ 98. Vgl. auch 95 und 97.

[631] _Liouvilles Journ._ 4.

[632] _Die Geometrie der Lage_, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von Reye
in dem _Journ. für Math._ veröffentlichten synthetischen Arbeiten über die
Geometrie der Geraden vereinigt finden.

[633] _Zeitschr. f. Math._ 20.

[634] _Dissertation_ (Berlin, 1879) oder _Math. Ann._ 15.

[635] _Giorn. di Matem._ 17; _Lincei Rend._ 1879.

[636] _Torino Atti_, 1881.

[637] _Journ. für Math._ 91, 92, 93, 94, 95, 97.

[638] _The Messenger of Mathematics_ II, 13.

[639] _Liouvilles Journ._ II, 17.

[640] S. Note 629.

[641] _Math. Ann._ 5.

[642] _Ann. Éc. norm._ II, 6; _Grunerts Arch._ 40.

[643] _Ann. Éc. norm._ III, 1.

[644] S. Note 628.

[645] _Nouv. Ann._ II, 2; _Liouvilles Journ._ II, 19.

[646] _Die Geometrie der Lage_.

[647] _Göttinger Nachr._ 1870.

[648] _Journ. für Math._ 95; _Zeitschr. f. Math._ 24, 27.

[649] _Sugli enti geometrici dello spazio di rette generati dalle
intersezioni dei complessi correspondenti in due o pin fasci projettivi di
complessi lineari_ (Piazza Armerina, 1882).

[650] _Proc. math. Soc._ 10; _Collectanea mathematica_, 1881.

[651] _Math. Ann._ 13.

[652] _Mémoire de géométrie vectorielle sur les complexes du second ordre,
qui ont un centre de figure_ (_Liouvilles Journ._ III, 8).

[653] _Sui complessi di rette di secondo grado generati da due fasci
projettivi di complessi lineari_ (Napoli, 1886), und _Napoli Rend._ 1886.

[654] _Math. Ann._ 23; _Giorn. di Matem._ 23; _Torino Atti_, 1884.

[655] _Applications de Géometrie et de Mechanique_, 1822.

[656] _Journ. Éc. polyt._ 14.

[657] _Comptes rendus_ 20.

[658] _Liouvilles Journ._ 15.

[659] _Journ. Éc. polyt._ 38.

[660] _Irish Trans._ 16, 1831.

[661] Bd. 57.

[662] Die Eigenschaften der unendlich dünnen Strahlenbündel, mit denen
Kummer sich in dieser Abhandlung beschäftigt, gaben später (1862) Stoff zu
einer schönen Arbeit von Möbius (_Leipziger Ber._ 14; _Werke_ 4), an welche
sich dann die von Zech (_Zeitschr. f. Math._ 17) veröffentlichten
Untersuchungen knüpfen; vgl. auch eine neuerliche Abhandlung von Hensel
(_Journ. für Math._ 102).

[663] _Berliner Abh._ 1866.

[664] Von noch erschienenen Arbeiten, die man als eine Fortsetzung derer
von Kummer ansehen kann oder die auf anderem Wege zu dessen Resultaten
geführt haben, erwähne ich: Reye (_Journ. für Math._ 86 und 93), Hirst
(_Proc. math. Soc._ 16), Stahl (s. Note 637), Caporali (_Napoli Rend._
1879), Loria (_Torino Atti_, 1884 und 1886) -- oder von solchen, die zu
diesen einige neue Formeln oder ein neues algebraisches Strahlensystem
hinzugefügt haben: Kummer (_Berliner Ber._ 1878), Masoni (_Napoli Rend._
22), Roccella (s. Note 649), Hirst (_Proc. math. Soc._ 16 und 17;
_Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo_ 1), Sturm (_Math. Ann._ 6;
_Journ. für Math._ 101).

[665] Zum Beweise, daß die Fragen, auf welche sich diese Arbeiten beziehen,
bei einigen Gelehrten jene Ruhe und Unparteilichkeit des Urteils, die immer
bei ihren Diskussionen walten sollte, aufgehoben haben, will ich hier zwei
Stellen anführen, die eine von einem Schriftsteller, der allen, welche sich
mit Philosophie beschäftigen, sehr wohl bekannt ist, die andere aus einer
Zeitschrift, die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: ».... so gewiß ist
es logische Spielerei, ein System von vier oder fünf Dimensionen noch Raum
zu nennen. Gegen solche Versuche muß man sich wahren; sie sind Grimassen
der Wissenschaft, die durch völlig nutzlose Paradoxien das gewöhnliche
Bewußtsein einschüchtern und über sein gutes Recht in der Begrenzung der
Begriffe täuschen« (Lotze, _Logik_, S. 217). »Die absolute oder
Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes und die
Lehre von n Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder
Krankheitserscheinungen der Mathematik« (J. Gilles, _Blätter für das
Bayrische Gymnasial- und Realschulwesen_ 28, S. 423). Man sehe auch die
heftigen Äußerungen Dührings, die von Erdmann in seiner trefflichen
Abhandlung: _Die Axiome der Geometrie_ (Leipzig, 1877, S. 85) wiedergegeben
sind, ferner Kroman, _Unsere Naturerkenntnis_, deutsch von Fischer-Benzon
(Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die Kap. 13 und 14 des Werkes
von Stallo, _La matière et la physique moderne_ (Paris, 1884). Auf Vorwürfe
von der oben erwähnten Art erwidern wir mit d'Alembert: »_Allez en avant,
et la foi vous viendra!_«

[666] Als Litteraturnachweis für diesen Teil der Geometrie sehe man die
Artikel von G. Bruce-Halsted, veröffentlicht im _Amer. Journ._ 1 und 2.

[667] Es ist dieser Satz: »Wenn bei einer Geraden, welche zwei andere
schneidet, die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner als
zwei Rechte ist, so schneiden sich letztere auf derselben Seite.«
D'Alembert nannte diesen Satz: »_l'écueil et le scandale des éléments de la
géométrie_«.

[668] Eine Zeit lang glaubte man, daß der fragliche Satz von Euklid unter
die Axiome gestellt sei; aber neuere historische Untersuchungen (s. Hankel,
_Vorlesungen über komplexe Zahlen und ihre Funktionen_, S. 52) neigen zu
der Ansicht, daß derselbe irrtümlicher Weise von den Abschreibern zu den
Axiomen geschrieben sei, während er im Originale unter den Postulaten
gestanden hatte.

[669] Vgl. _Die Elemente der Mathematik_ von Baltzer, 4. Teil, Planimetrie.

[670] Man erzählt, Lagrange habe beobachtet, daß die sphärische Geometrie
von dem Euklidischen Postulate unabhängig sei, und gehofft, aus dieser
Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu können, den Ungelegenheiten der
Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die ebene Geometrie als die
Geometrie auf einer Kugel mit unendlich großem Radius betrachtete.

[671] _Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher_, herausgegeben von
Peters, 6 Bände (Altona, 1860-1865); die betreffenden Stellen dieses
Briefwechsels sind von Hoüel ins Französische übersetzt und seiner 1866
erschienenen französischen Übersetzung von Lobatschewskys _Geometrischen
Untersuchungen_ (vgl. Note 10) zugefügt.

[672] Vgl. die Gedächtnisschrift auf Gauß von Schering in den _Göttinger
Abh._ 22 (1877).

[673] _Göttingische Gelehrte Anzeigen_, 1816 und 1822; oder _Gauss' Werke_
4 (1873), S. 364 und 368. Vgl. auch Sartorius von Waltershausen, _Gauss zum
Gedächtnis_ (Leipzig, 1856), S. 81. -- Möge es gestattet sein, hier die
Mitteilung anzuschließen, daß Gauß das alte Problem der Kreisteilung, in
dem man seit zwei Jahrtausenden nicht vorwärts gekommen war, durch
Untersuchungen auf einem Gebiete wesentlich gefördert hat, das ohne
Zusammenhang mit diesem Problem schien und auf welchem man solchen Gewinnst
für die Geometrie nicht erwartete (_Disquisitiones arithmeticae_, Leipzig,
1801; _Werke_ 1; vgl. Bachmann, _Die Lehre von der Kreisteilung_, Leipzig,
1872), indem er zeigte, daß die Teilung in n Teile mit Hilfe von Lineal und
Zirkel auch noch möglich ist, wenn n eine Primzahl von der Form 2^m +1 ist.
Man sehe hierzu auch Legendre, _Éléments de trigonométrie_, Anhang;
Richelot, Staudt, Schröter, _Journ. für Math._ 9, 24, 75; Affolter, _Math.
Ann._ 6.

[674] _Courier von Kasan_, 1829-1830; _Abhandlungen der Universität Kasan_,
1835, 1836, 1837, 1838; _Geometrische Untersuchungen über die Theorie der
Parallellinien_ (Berlin, 1810); _Journ. für Math._ 17.

[675] Die Schrift von Johann Bolyai erschien als Anhang des Werkes von W.
Bolyai: _Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae .....
introducendi_, 2. Bd. (Maros-Vásárhely 1833), wurde dann ins Französische
übersetzt von Hoüel _(Mémoires de Bordeaux)_, ins Italienische von
Battaglini (_Giorn. di Matem._ 5).

[676] Es ist das Verdienst Hoüels (?--1886) und Battaglinis, die Werke von
Lobatschewsky und Bolyai durch Übersetzungen und vorzügliche Kommentare (s.
Note 7 und 11 und _Giorn. di Matem._ 5 und 8) verbreitet zu haben. -- Heute
ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, da Flye S^{te}
Marie (_Etudes analytiques sur la théorie des parallèles_, Paris, 1871),
Frischauf (_Elemente der absoluten Geometrie_, Leipzig, 1876) und de Tilly
(_Essai sur les principes fundamentaux de la géométrie et de la mécanique_,
Bordeaux, 1879) methodische Bearbeitungen derselben geschrieben haben. In
England wurden die neuen Ideen über die Prinzipien der Geometrie bearbeitet
und herrlich dargestellt von Clifford; man sehe die Schrift _Lectures and
Essays_, sowie die von Smith den _Mathematical Papers by W. K. Clifford_
(London, 1882) vorausgeschickte Einleitung.

[677] _Göttinger Abh._ 13 (1867), oder _Gesammelte Werke_ (Leipzig, 1876),
ins Französische übersetzt von Hoüel (_Annali di Matem._ II, 3), ins
Englische von Clifford (_Nature_ 8 oder _Mathematical Papers_ S. 55).

[678] In der Abhandlung _Über die Thatsachen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen_ (_Göttinger Nachr._ 1868).

[679] Hierzu sehe man _Populäre wissenschaftliche Vorträge_ von Helmholtz
(Braunschweig, 1871-1876); _Revue des cours scientifiques_, 9. Juli 1870
etc.

[680] _Giorn. di Matem._ 6. Dieser Artikel wurde ins Französische übersetzt
von Hoüel und veröffentlicht in den _Ann. Éc. norm._ 6, 1869.

[681] Man vergleiche hierzu die Worte, mit denen d'Alembert die Meinung
zurückwies, daß die Wahrheiten der Mechanik experimentelle seien (_Traité
de Dynamique_, Paris, 1858, _Discours préliminaire_, S. XII), mit den
folgenden von Clifford (_The Common Sense of the Exact Sciences_, London,
1885, _International Scientific Series_ 51): »In derselben Weise, wie wir,
um irgend einen Zweig der Physik zu schaffen, von der Erfahrung ausgehen
und auf unsere Experimente eine gewisse Anzahl von Axiomen stützen, welche
solchergestalt die Grundlage desselben bilden, so sind die Axiome, die wir
als Grundlage der Geometrie nehmen, wenn auch weniger offenbar, in der That
ein Ergebnis der Erfahrung.« Man sehe auch das Werk von Hoüel, _Du rôle de
l'expérience dans les sciences exactes_ (Prag, 1875), oder die Übersetzung,
die davon in _Grunerts Arch._ 59 veröffentlicht wurde.

[682] Ich bemerke, daß, wer die _Ausdehnungslehre_ des großen deutschen
Geometers und Philologen Hermann Graßmann liest, mit Erstaunen sehen wird,
daß er schon 1844 zu Schlüssen gelangt war, die von den im Texte
angegebenen nicht sehr verschieden sind. Aber wer weiß nicht, daß, um
geschätzt zu werden, dieses ausgezeichnete Werk nötig hatte, daß andere auf
einem anderen Wege zu den äußerst originellen Wahrheiten gelangten, die es
enthält? -- Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine Erklärung zu
geben, welche zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser kurzen Geschichte
der Kämpfe, welche die Geometer in diesen letzten Zeiten ausgefochten
haben, traf es sich selten und nur flüchtig, daß ich Arbeiten von Graßmann
zitierte, und ich glaube nicht, daß ich noch Gelegenheit haben werde,
diesen Namen auszusprechen. Das heißt nicht, daß dieser Geometer nicht der
Erwähnung würdig sei, daß seine Entdeckungen und seine Methoden nicht
verdienten, bekannt zu werden; aber es liegt daran, daß der Formalismus, in
den er seine Gedanken gekleidet, sie den meisten unzugänglich gemacht und
ihnen fast jede Möglichkeit genommen hat, irgend einen Einfluß auszuüben.
Graßmann war während eines großen Teiles seines Lebens ein Einsiedler in
der Mathematik; nur während seiner letzten Jahre befaßte er sich damit,
etliche seiner Produktionen in modernem Gewande zu veröffentlichen, um
deren Verwandtschaft mit denen seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe
_Math. Ann._ 10, 12; _Göttinger Nachr._ 1872; _Journ. für Math._ 84); daher
ist es natürlich, daß ihn zu nennen demjenigen selten widerfährt, welcher
sich vornimmt, die Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten
Anstrengungen der modernen Geometer verdankt. -- Man vergleiche Peano,
_Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto
dalle operazioni della logica deduttiva_ (Turin, 1888). -- Über die
wissenschaftlichen Verdienste Graßmanns sehe man einen Artikel von Cremona
in den _Nouv. Ann._ I, 19, dann den 14. Bd. der _Math. Ann._ und den 11.
Bd. des _Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze matematiche_.
Ein Vergleich zwischen den Methoden Graßmanns und anderen moderneren wurde
von Schlegel in der _Zeitschr. f. Math._ 24 gemacht.

[683] _Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie_ (_Math. Ann._ 4).

[684] _Nouv. Ann._ 12.

[685] _Phil. Trans._ 149; vgl. Clifford, _Analytical Metrics_ (_Quart.
Journ._ 1865, 1866 oder _Mathematical Papers_, S. 80).

[686] Eine spätere Abhandlung von Klein unter demselben Titel (_Math. Ann._
6) ist zur Ergänzung einiger Punkte der ersteren bestimmt. An dieselbe
knüpfen sich die wichtigen Untersuchungen von Lüroth und Zeuthen (_Math.
Ann._ 7), von Thomae (vgl. die 2. Aufl. der _Geometrie der Lage_ von Reye),
von Darboux (_Math. Ann._ 17), von Schur (das. 18), de Paolis (_Lincei
Mem._ 1880-1881) und von Reye (3. Aufl. der _Geometrie der Lage_) über den
Fundamentalsatz der projektiven Geometrie.

[687] _Études de mécanique abstraite_ (_Mémoires couronnées par l'Académie
de Belgique_ 21, 1870).

[688] _Bulletin de l'Académie de Belgique_ II, 36; _Torino Mem._ II, 29;
_Mem. de la società italiana delle scienze_ III, 2.

[689] _Wiener Ber._ 1874. Man sehe auch die schöne Abhandlung von Beltrami:
_Sulle equazioni generali dell' elasticità_, in den _Annali di Matem._ II,
10.

[690] _Sull' applicabilità delle superficie degli spazii a curvatura
costante_ (_Lincei Atti_ III, 2).

[691] _Lincei Rend._ 1873 und 1876.

[692] _Annali di Matem._ II, 6, 7; _Giorn. di Matem._ 13; _Torino Atti_,
1876; _Lincei Mem._ III, 3; _Lombardo Rend._ 1881.

[693] _Lincei Mem._ 1877-1878.

[694] _Lombardo Rend._ II, 14, 15.

[695] _Math. Ann._ 5.

[696] _Math. Ann._ 7.

[697] _Göttinger Nachr._ 1873.

[698] _Amer. Journ._ 2, 4, 5.

[699] _Die Massfunktionen in der analytischen Geometrie._ Programm (Berlin,
1873).

[700] _Math. Ann._ 10.

[701] _Quart. Journ._ 18.

[702] _On the theory of screws in elliptic space._ (_Proc. math. Soc._ 15
und 16).

[703] Die interessantesten von den mir bekannten sind die von Segre, _Sulle
geometrie metriche dei complessi lineari e delle sfere_, veröffentlicht in
den _Torino Atti_, 1883.

[704] Das Produkt zweier Strecken ist eine Fläche, das dreier ein Körper,
was ist das geometrische Bild des Produktes von vieren? -- Die analytischen
Geometer der Cartesischen Epoche bezeichneten dasselbe durch das Wort
»sursolide« (überkörperlich), welches sich in ihren Schriften findet; man
kann sie daher als diejenigen ansehen, welche zuerst die im Texte erwähnte
Richtung eingeschlagen haben.

[705] S. Cayley, _A memoir on abstract Geometry_ (_Phil. Trans._ 1870);
vgl. auch _Cambridge Journ._ 4, 1845.

[706] _Comptes rendus_, 1847.

[707] Überdies scheint es außer Zweifel zu stehen, daß Gauß ausgedehnte und
bestimmte Ideen über die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat;
vgl. Sartorius von Waltershausen, a. O. S. 81 (s. Note 673 des vor.
Abschn.).

[708] _Théorie des fonctions analytiques_ (Paris, an V, S. 223).

[709] Ich darf nicht verschweigen, daß schon 1827 Möbius einen Einblick
hatte, wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes ein
unerklärlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume aufgehoben
wird; dieser Unterschied besteht darin, daß, während man zwei in Bezug auf
eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung bringen kann, es
nicht möglich ist, zwei räumliche in Bezug auf eine Ebene symmetrische
Figuren zusammenfallen zu lassen. Später bemerkte Zöllner beiläufig, wie
die Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse Bewegungen zulassen
würde, die wir für unmöglich halten; die folgenden Resultate können als
Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: Newcomb zeigte (_Amer. Journ._ 1),
daß, wenn es einen Raum von vier Dimensionen giebt, es möglich ist, die
beiden Seiten einer geschlossenen materiellen Fläche umzuwechseln, ohne
dieselbe zu zerreißen. Klein bemerkte (_Math. Ann._ 9), daß bei dieser
Voraussetzung die Knoten nicht erhalten bleiben könnten, und Veronese
führte (in der 1881 an der Universität zu Padua gehaltenen _Prolusione_)
die Thatsache an, daß man dann aus einem geschlossenen Zimmer einen Körper
herausnehmen könne, ohne die Wände desselben zu zerbrechen. Hoppe gab
(_Grunerts Arch._ 64) Formeln an, welche die Beobachtungen Kleins
illustrierten. Diese Formeln erforderten einige Modifikationen, die von
Durège angegeben wurden (_Wiener Ber._ 1880); vgl. auch _Grunerts Arch._ 65
und die synthetischen Betrachtungen von Schlegel, _Zeitschr. f. Math._ 28.

[710] _Annali di Matem._ II, 2 und 5.

[711] _Journ. für Math._ 65; _Annali di Matem._ II, 5.

[712] _Journ. für Math._ 83.

[713] _Amer. Journ._ 2.

[714] _Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung_,
Leipzig, 1885.

[715] _Math. Ann._ 27.

[716] _Annali di Matem._ II, 4.

[717] _Proc. math. Soc._ 7 oder _Mathematical Papers_, S. 236.

[718] _Bull. sciences math._ 11, 1876.

[719] _Comptes rendus_, 79.

[720] _Journ. für Math._ 70 flgg., _Quart. Journ._ 12.

[721] _Proc. math. Soc._ 9.

[722] _Berliner Dissertation_, 1880.

[723] _Phil. Trans._ 175.

[724] _Journ. für Math._ 98.

[725] Nach Lipschitz hatte Lejeune-Dirichlet (1805-1859) das allgemeine
Gravitationsgesetz im elliptischen Raume studiert. Diese Studien wurden
dann von Schering bearbeitet und in den _Göttinger Nachr._ 1870 und 1873
veröffentlicht.

[726] _Comptes rendus_ 79.

[727] _Math. Ann._ 19.

[728] Hoppe machte analoge Untersuchungen für die Kurven des
vierdimensionalen Raumes (_Grunerts Arch._ 64).

[729] _Amer. Journ._ 4.

[730] _Berliner Ber._ 1869.

[731] _Math. Ann._ 7; _Zeitschr. f. Math._ 20, 21, 24.

[732] _Journ. für Math._ 70 und 72.

[733] _Journ. für Math._ 70.

[734] _Math. Ann._ 24.

[735] _Bull. sciences math._ I, 4.

[736] _Math. Ann._ 26.

[737] _Collectanea mathematica; Annali di matem._ II, 10.

[738] _Göttinger Nachr._, 1871.

[739] _Math. Ann._ 5.

[740] _Journ. für Math._ 81; _Comptes rendus_ 82.

[741] _Amer. Journ._ 4.

[742] _Journ. für Math._ 74 oder _Quart. Journ._ 12. Ich füge noch hinzu,
daß Salmon und Cayley sich der Räume von mehreren Dimensionen in ihren
Untersuchungen über die Theorie der Charakteristiken (§ IV) bedient haben,
daß Mehler, _Journ. für Math._ 84, eine Anwendung von der Betrachtung eines
vierdimensionalen Raumes für Untersuchungen über dreifache Systeme
orthogonaler Oberflächen, und daß Lewis davon eine ähnliche Anwendung
machte bei der Betrachtung einiger Trägheitsmomente (_Quart. Journ._ 16).
Dann fand Wolstenholme, daß die Zahl der Normalen, die man von einem Punkte
eines d-dimensionalen Raumes an eine Oberfläche von der n^{ten} Ordnung
ziehen kann,

    n
   --- { (n-1)^d - 1 }
   n-2

beträgt (_Educational Times_ 10).

[743] _Von den Elementen und Grundgebilden der synthetischen Geometrie_
(Bamberg, 1887).

[744] _Grunerts Arch._ 64.

[745] _Bull. Soc. math._ 10.

[746] _Grunerts Arch._ 70.

[747] _Amer. Journ._ 3.

[748] _Grunerts Arch._ 66, 67, 68, 69.

[749] _Nova Acta der Leopold.-Carol. Akademie_ 44.

[750] _Die polydimensionalen Grössen und die vollkommenen Primzahlen._

[751] _Von Körpern höherer Dimensionen_ (Kaiserslautern, 1882).

[752] _Wiener Ber._ 90.

[753] _Wiener Ber._ 89 und 90.

[754] Diese bilden eine der merkwürdigsten von den durch L. Brill in
Darmstadt veröffentlichten Serien von Modellen.

[755] _Journ. für Math._ 31, S. 213. Liest man die wenigen Seiten, welche
die Abhandlung von Cayley bilden, so gewinnt man die Überzeugung, daß er
schon 1846 einen klaren Einblick von der Nützlichkeit hatte, welche der
gewöhnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von mehreren
Dimensionen bringen könne.

[756] _Histoire de l'astronomie moderne_ 2, S. 60.

[757] _Phil. Trans._ 1878 oder _Mathematical Papers_ S. 305.

[758] _Math. Ann._ 19.

[759] Unter den in der Abhandlung von Veronese bearbeiteten Untersuchungen
sind die über die Konfigurationen besonderer Erwähnung wert, ferner die
Formeln, welche -- als eine Erweiterung derer von Plücker und Cayley -- die
gewöhnlichen Singularitäten einer Kurve eines n-dimensionalen Raumes unter
einander verknüpfen, die Erzeugung von in einem solchen Raume enthaltenen
Oberflächen durch projektive Systeme und die Anwendung derselben auf das
Studium einiger Oberflächen unseres Raumes; dann kann ich nicht
stillschweigend übergehen die Studien über die in einem quadratischen
Gebilde von n Dimensionen enthaltenen linearen Räume, die Veronese gemacht
hat, um einige Sätze von Cayley zu erweitern (_Quart. Journ._ 12), indem er
die von Klein (_Math. Ann._ 5) verallgemeinerte stereographische Projektion
anwandte, ferner nicht etliche wichtige Resultate über die Kurven, von
denen übrigens einige schon Clifford (_Phil. Trans._, 1878) auf einem
anderen Wege erhalten hatte.

[760] _Annali di Matem._ II, 11; _Lincei Mem._ 1883-1884; _Atti dell'
Istituto Veneto_ V, 8. Letztere Abhandlung ist der darstellenden Geometrie
des Raumes von 4 Dimensionen gewidmet und kann daher als die Ausführung
eines Gedankens angesehen werden, den Sylvester im Jahre 1869 in seiner
Rede vor der British Association angedeutet hat.

[761] _Torino Mem._ II, 36.

[762] _Lincei Mem._ 1883-1884; _Torino Mem._ II, 37; _Lincei Rend._ 1886.

[763] _Torino Atti_ 19.

[764] _Torino Atti_ 19, 20, 21; _Math. Ann._ 27.

[765] _Math. Ann._ 24.

[766] _Torino Atti_ 20.

[767] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1886. Man sehe auch desselben
Verfassers wichtige Note: _Sui sistemi lineari, Lombardo Rend._ 82.

[768] _Lombardo Rend._ 1885, 1886.

[769] _Napoli Rend._ 1885, 1886. Vgl. auch Rodenberg, _Math. Ann._ 26.

[770]

  Ich kann sie alle hier nicht wiederholen,
  Weil mich des Stoffes Fülle so bedrängt,
  Daß hinter dem Gescheh'nen oft das Wort bleibt.
  -- (Dantes _Divina Commedia_, der _Hölle_ 4. Ges. V. 145-147.)

[771] _Math. Ann._ 2, 8. Man sehe auch die Abhandlung von S. Kantor, _Sur
les transformations linéaires successives dans le même espace à_ n
_dimensions_ (_Bull. Soc. math._ 8).

[772] _Bull. Soc. math._ 2. Unter den in dieser Arbeit erhaltenen
Resultaten heben wir folgendes hervor: »Wenn man in einem Raume von r - 1
Dimensionen zwei algebraische Mannigfaltigkeiten vom Grade [mu] und [nu]
ins Auge faßt, bezüglich von m und n Dimensionen, so ist der Schnitt
derselben eine Mannigfaltigkeit von n + m - (r-1) Dimensionen und vom Grade
[mu][nu], wofern m + n >= r - 1, und die beiden Mannigfaltigkeiten nicht
eine solche von m + n - r + 2 oder mehr Dimensionen gemeinsam haben«, um
den vollständigen Beweis desselben anzuführen, den Nöther in den _Math.
Ann._ 11 geliefert hat.

[773] _Lincei Mem._ 1876-1877; vgl. auch Jordan (_Bull. Soc. math._ 3). --
Hier will ich eine Notiz machen, die im Texte nicht Platz finden konnte:
Von vielen wurde behauptet, daß in einem Raume von konstanter positiver
Krümmung zwei geodätische Linien, wenn sie sich treffen, im allgemeinen
zwei Punkte gemeinsam haben; das ist nun nicht wahr, und dieses wurde
zuerst von Klein beobachtet (_Jahrbuch über die Fortschritte der
Mathematik_ 9, S. 313), dann von Newcomb (_Journ. für Math._ 83) und von
Frankland (_Proc. math. Soc._ 8). Über dasselbe Thema sehe man eine
Abhandlung von Killing (_Journ. für Math._ 86 und 89).

[774] _Math. Ann._ 26; _Acta math._ 8. -- Der Abhandlung von Veronese gehen
noch die Untersuchungen von Spottiswoode (1825-1883) voran, über die
Darstellung der Figuren der Geometrie von n Dimensionen vermittelst
correlativer Figuren der gewöhnlichen Geometrie (_Comptes rendus_ 81).

[775] _Mémoire de Géométrie sur deux principes généraux de la science._

[776] _Beiträge zur Geometrie der Lage,_ § 29.

[777] _Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft zu Zürich_ 15,
oder _Die darstellende Geometrie._

[778] Vgl. die interessante Abhandlung von Fiedler, _Geometrie und
Geomechanik_, erschienen in der genannten _Vierteljahrsschrift_, und in
französischer Übersetzung in _Liouvilles Journ._ III, 4 veröffentlicht.

[779] Den Nutzen, welcher der Geometrie durch die Annahme einiger Begriffe,
die man jetzt noch als der Mechanik angehörig betrachtet, erwachsen würde,
bezeugen der _Exposé géométrique du calcul différentiel et intégral_
(Paris, 1861), von Lamarle (1806-1875) verfaßt, die von Mannheim der
kinematischen Geometrie gewidmeten Partien in seinem _Cours de géométrie
descriptive_ (Paris, 1880) und das schöne jüngst veröffentlichte Buch
meines Freundes Peano mit dem Titel: _Applicazioni geometriche del calcolo
infinitesimale_ (Turin, 1887).

[780] Man sehe die Anhänge der _Proc. math. Soc._ seit Bd. 14.

[781] _Nouv. Ann._ II, 1, 2; _Liouvilles Journ._ II, 7; _Berliner Abh._
1865, 1866; _Berliner Ber._ 1872 oder _Borchardts Gesammelte Werke_, S.
179, 201, 233.

[782] Insbesondere _Journ. für Math._ 24 oder _Werke_, Bd. II, S. 177, 241.

[783] S. _Acta Societatis scientiarum Fennicae_, 1866; _Bull. de l'Académie
de St. Pétersbourg_ 14; _Math. Ann._ 2; _Nouv. Ann._ II, 10; _Zeitschr. f.
Math._ 11; _Göttinger Nachr._ 1882 oder _Bull. sciences math._ II, 7;
_Journ. für Math._ 96, 97; _Göttinger Nachr._ 1884; _Grunerts Arch._ II, 2;
_Giorn. di Matem._ 26.

[784] _Mémoires de l'Académie de Berlin,_ 1761; vgl. Legendres _Eléments de
Géometrie_, Note IV der älteren Auflagen.

[785] _Berliner Ber._ 1882; _Math. Ann._ 20; vereinfacht durch Weierstraß,
_Berliner Ber._ 1885; man vgl. auch Rouché, _Nouv. Ann._ III, 2.

[786] Die einzigen rein synthetischen Untersuchungen über die Kurven und
Oberflächen von höherer als zweiter Ordnung, die ich kenne, sind die von
Reye (_Geometrie der Lage_) über die ebenen kubischen Kurven, einige von
Thieme (_Zeitschr. f. Math_ 24; _Math. Ann._ 20, 28), von Milinowski
(_Zeitschr. f. Math._ 21, 23; _Journ. für Math._ 89, 97) und von Schur
(_Zeitschr. f. Math._ 24). Ihnen könnte man die beiden folgenden Arbeiten
hinzufügen, die im Jahre 1868 von der Berliner Akademie gekrönt sind:
H. J. S. Smith, _Mémoire sur quelques problèmes cubiques et biquadratiques_
(_Annali di Matem._ II, 3); Kortum, _Über geometrische Aufgaben dritten und
vierten Grades_ (Bonn, 1869). Die Geometer erwarten ungeduldig die
Veröffentlichung einer Schrift von E. Kötter, die 1886 von der Berliner
Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen erscheint, in das
Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der ebenen algebraischen
Kurven zu versetzen. (Sie ist während der Anfertigung der Übersetzung
vorliegender Schrift in den _Berliner Abh._ 1887 unter dem Titel:
_Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen
Kurven_ erschienen.)

[787] Die Angemessenheit des gleichzeitigen Gebrauches der Geometrie und
Analysis, auch in den Fragen der angewandten Mathematik, wurde ausdrücklich
von Lamé mit folgenden Worten erklärt: _»Quand on médite sur l'histoire des
mathématiques appliquées, on est effectivement conduit à attribuer leurs
principales découvertes, leurs progrès les plus décisifs à l'association de
l'analyse et de la géométrie. Et les travaux, que produit l'emploi de
chacun de ces instruments, apparaissent alors comme des préparations, des
perfectionnements, en attendant l'époque qui sera fécondée par leur
réunion.«_ (_Leçons sur les coordonnées curvilignes_, 1859, S. XIII und
XIV.)

[788] Poinsot, _Comptes rendus_ 6 (1838) S. 809.

       *       *       *       *       *


Corrections made to printed original.

page 17, "l'origine et le développement": 'el développement' in original.

Footnote 265, "geometrische.": 'geometrisehe' in original.








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