2
2"
+

3
3"2 􀀀 : : : :
Dieser Wert würde mit 
 sehr groß werden, wenn 
" nicht sehr
groß auch gegen 
 wäre. Nun wird aber schon das Verhältnis
des dritten zum zweiten Gliede dem absoluten Werte nach
=
2
3



"
:
Dies ist ein sehr kleiner Wert. Wir können uns also auf die zwei
ersten Glieder beschränken und finden
ln  () = ln c 􀀀

2
2"
woraus folgt
 () = ce􀀀

2
2"
oder
 () = ce􀀀h2
0 2 (C)
für
h2
0 =


2"
=
m0
2w(1 􀀀 w)(1 􀀀 )
:
Näherungsformeln. 173
Es ist aber h0 eine sehr große,  eine sehr kleine Zahl. Zu
berechenbaren Werten gelangen wir, wenn wir
x =
m0
pn0
=
x
pn0
; h =
pn0
m0
h0
einführen. Dann wird die Verteilungsfunktion
 (x) =
h
p
e􀀀h2x2
;
genau wie früher, und angenähert h2 =
1
2w(1 􀀀 w)
. Dies war
zu erwarten, denn wir sahen schon, daß, wenn die Anzahl der
herausgegriffenen Kugeln klein ist im Verhältnis zu der Anzahl
der in der Urne enthaltenen Kugeln, der Fall genau so liegt, als
ob die Kugeln einzeln gezogen und nach der Ziehung jedesmal
zurückgelegt würden.
In dem anderen Falle, wo weder w noch  nahe an 0 oder 1
liegen, können wir in den beiden Faktoren des Nenners  gegen
das erste Glied vernachlässigen und erhalten dann sofort
d ln  ()
d
= 􀀀
m0
w(1 􀀀 w)(1 􀀀 )
und daraus durch Integration
 () = ce􀀀h2
02
;
d. h. dieselbe durch die Ga u ßsche Funktion gegebene typische
Verteilung wie vorhin und wie in dem Falle, wo die Kugeln einzeln
gezogen und nach der Ziehung jedesmal zurückgelegt werden.
Nur hat die frühere Größe r n
2w(1 􀀀 w)
, in welcher wir m0
Achtes Kapitel. 174
statt n geschrieben zu denken haben, sich jetzt verwandelt in
h0 = s m0
2w(1 􀀀 w)(1 􀀀 )
:
Es tritt also noch ein Faktor hinzu, der am kleinsten ist, wenn
die herausgegriffenen Kugeln die Hälfte von den in der Urne
enthaltenen Kugeln betragen, und um so größer wird, je mehr
sich die Anzahl der herausgegriffenen Kugeln von diesem Wert
entfernt. Damit die Funktionswerte in den Grenzen der Berechenbarkeit
liegen, muß h, d. h. auch x : pn0 einen berechenbaren
Wert haben und x : n0 daher einen sehr kleinen Wert. Das
Mischungsverhältnis p0
n0
= w +
x
n0
des herausgegriffenen Kugelhaufens
weicht also wenig von dem Mischungsverhältnis w der
Kugeln in der Urne ab.
Aus allen bisherigen Betrachtungen hat sich uns für den
Fall, daß sich die Verteilungsreihe einer kontinuierlichen Verteilungsfunktion
nähert, immer eine bestimmte Funktion, die
Ga u ßsche Funktion, ergeben. Diese Funktion ist ganz besonderer
Art, unter anderem ist sie wesentlich symmetrisch.
Es gibt aber eine Erweiterung des Urnenschemas, durch die
eine wesentlich unsymmetrische Verteilung entspringt und die
sich als von großer Bedeutung erwiesen hat, weil sie den Weg
zeigt, wie man zu viel allgemeineren Verteilungsfunktionen gelangen
kann.
Diese Verallgemeinerung des Urnenschemas besteht darin,
daß wir uns nicht bloß eine, sondern eine ganze Anzahl von Urnen
denken, und zunächst durch das Los bestimmen, aus welcher
Urne wir ziehen wollen. Für die Anzahl Male, die wir auf diese
Näherungsformeln. 175
Weise die ite Urne treffen, ergibt sich hierbei eine bestimmte relative
Häufigkeit wi derart, daß, wenn wir die Summation über
alle Urnen ausdehnen, Pwi = 1
wird.
Denken wir uns nun die Ziehungen an der iten Urne vollzogen,
so möge uiz die relative Häufigkeit der Fälle bezeichnen,
wo das Verhältnis der Anzahl der gezogenen weißen Kugeln zu
der Anzahl der überhaupt gezogenen Kugeln gleich z ist. Wir
haben dann eine typische stationäre Reihe vor uns und es gelten
die früher abgeleiteten Beziehungen
Pz
uiz = 1; Pz
uizz = ui; Pz
uiz(z 􀀀 ui)2 =
ui(1 􀀀 ui)
n
:
Betrachten wir nun aber die Ziehungen so, daß wir alle Urnen
berücksichtigen, daß also von vornherein nicht entschieden
ist, aus welcher Urne wir ziehen, so müssen wir das zusammengesetzte
Ereignis ins Auge fassen, dessen erster Teil die Bestimmung
der Urne ist, aus welcher gezogen werden soll, und dessen
zweiter Teil in den Ziehungen aus der Urne selbst besteht. Für
dieses zusammengesetzte Ereignis wird nun die relative Häufigkeit
wiuiz
und daraus ergibt sich der Mittelwert
w = Pi Pz
wiuizz = Pi
wiui:
Die mittlere Ausweichung haben wir durch den Ausdruck
zu bestimmen
2 = Pi Pz
wiuiz(z 􀀀 w)2:
Achtes Kapitel. 176
Diesen Ausdruck haben wir nun weiter auszurechnen. Zu dem
Zweck beachten wir zunächst, daß
Pi Pz
wiuiz(z 􀀀 ui)2 = Pi
wi
ui(1 􀀀 ui)
n
=
w
n 􀀀 Pwiu2
i
n
wird. Wir finden dann weiter:
2 = Pi
wi Pz
uizz2 􀀀 2Pz
uizz 
 w + w2
= Pi Pz
wiuizz2 􀀀 w2:
Nun wird, da Pz
uizz2 = Pz
uiz(z 􀀀 ui)2 + u2
i ,
Pi Pz
wiuizz2 = Pi Pz
wiuiz(z 􀀀 ui)2 +Pi
wiu2
i
=
w
n 􀀀 Pwiu2
i
n
+Pwiu2
i =
w
n
+
n 􀀀 1
n Pwiu2
i
=
w
n
+
n 􀀀 1
n Pwi(ui 􀀀 w)2 +
n 􀀀 1
n
w2;
also ergibt sich:
2 =
w(1 􀀀 w)
n
+
n 􀀀 1
n Pwi(ui 􀀀 w)2:
So gelangen wir zu dem Resultat, daß die mittlere Ausweichung
 = rw(1 􀀀 w)
n
+
n 􀀀 1
n Pwi(ui 􀀀 w)2
Näherungsformeln. 177
wird, also in diesem Falle
(
)  > rw(1 􀀀 w)
n
ist.
Läßt man die Anzahl der jedesmal aus einer Urne gemachten
Ziehungen unbegrenzt zunehmen, so wird die relative Häufigkeit
(oder Wahrscheinlichkeit) der Fälle, wo das Mischungsverhältnis
der gezogenen Kugeln zwischen z und z + dz liegt,
wenn feststeht, daß aus der iten Urne gezogen wird,
= e􀀀h2
i (z􀀀ui)2 hi dz
p
für hi = r n
2ui(1 􀀀 ui)
und damit wird die Wahrscheinlichkeit, daß überhaupt das Ziehungsverhältnis
zwischen z und z + dz liegt,
(D) (z) dz = Pi
wihi p
e􀀀h2
i (z􀀀ui)2
dz:
Daraus folgt sofort
Z +1
􀀀1
(z) dz = 1;
ferner
Z +1
􀀀1
z(z) dz = Pi
wiui = w:
Endlich wird
Z +1
􀀀1
z2(z) dz = Pwi
ui(1 􀀀 ui)
n
+Pwiu2
i ;
Achtes Kapitel. 178
entsprechend dem oben gefundenen Wert für 2.
Wir sind so zu einer Verteilungsfunktion
(z) = Pi
wihi p
e􀀀h2
i (z􀀀ui)2
(Pwi = 1)
gelangt, die eine sofort einleuchtende Verallgemeinerung der einfachen
Ga u ßschen Funktion bildet. Es ist allerdings keine ganz
leichte Aufgabe, eine vorliegende empirische Verteilungsfunktion
auf diese Form zu bringen.
Was die Lösung dieser Aufgabe anbetrifft, so erinnert sie auf
den ersten Anblick stark an die viel einfachere Aufgabe der Entwickelung
einer gegebenen periodischen Funktion in eine Fo u -
r i e rsche Reihe, aber bei näherem Zusehen bemerkt man doch
bald die tiefgreifende Verschiedenheit beider Entwickelungen.
Zwar kann man in beiden Fällen sagen, daß die wirklich vorhandene
Funktion aus gewissen Teilfunktionen, im einen Falle
die wirkliche Schwingung aus Sinusschwingungen, im anderen
Falle die wirkliche Dispersion aus typischen (der Ga u ßschen
Verteilungsfunktion folgenden) Dispersionen zusammengesetzt
wird. Aber während im Falle der Fo u r i e rschen Reihe die nähere
Bestimmung der Teilschwingungen durch einfache Teilung
der ganzen Periode in gleiche Teile gewonnen wird, sind im Falle
der Entwickelung einer Verteilungsfunktion nach Ga u ßschen
Funktionen in jeder von diesen zwei zu bestimmende Konstanten,
hi und ui, enthalten. Will man diese Konstanten nicht von
vornherein, sondern so bestimmen, daß eine möglichste Annäherung
an die wirkliche Verteilung bei einer möglichst geringen
Anzahl von Entwickelungsgliedern erreicht wird, so erhält man
schon in dem Falle, wo die Entwickelung aus nur zwei Gliedern
besteht, eine ziemlich schwierige Rechnung. Es liegt daher naNäherungsformeln.
179
he, die Reihenentwickelung einer vorgelegten Verteilungsfunktion
auf ganz anderem Wege zu versuchen. Der einfachste Weg
wäre der, daß man nicht von der Funktion selbst, sondern von
ihrer logarithmischen Derivierten ausgeht und diese in eine gewöhnliche
Potenzreihe entwickelt. Für die Verteilungsfunktion
selbst ergibt sich dann ein Ausdruck
 (z) = ea0+a1z+a2z2+a3z3+::::
Ein anderer, anscheinend besserer Weg ist der, daß das Produkt
der gegebenen Verteilungsfunktion und einer Funktion eh2(z􀀀c)2
in eine Potenzreihe a0 + a1z + a2z2 + : : : entwickelt wird. Für
die Verteilungsfunktion selbst ergibt sich dann ein Ausdruck
 (z) = e􀀀h2(z􀀀c)2
(a0 + a1z + a2z2 + : : : ):
Man kann diese Entwickelung auch so fassen, daß man von
der Funktion '(z) = e􀀀h2(z􀀀c)2 die sukzessiven Derivierten
'1(z); '2(z); : : : einführt und dann setzt
 (z) = b0'(z) + b1'1(z) + b2'2(z) + : : : :
Was diese Form der Entwickelung betrifft, so sei insbesondere
auf H. Br u n s,Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmaßlehre
(Leipzig und Berlin 1906) verwiesen, wo die allgemeine Lösung
in einer allerdings nicht ganz leicht zu übersehenden Weise
gegeben ist.
Neuntes Kapitel.
Die statistische Theorie des Zufalls.
Es handelt sich nun darum, aus den Entwickelungen der
letzten Kapitel sozusagen die Nutzanwendung zu ziehen, indem
wir in dem ganzen Bereich der Wirklichkeit die Erscheinungen
suchen, die dem Schema der Zufallsspiele entsprechen. Dieses
Entsprechen kann sich zunächst nur dadurch kundgeben, daß
die Verteilung der empirisch festgestellten Zahlenwerte dieselbe
ist, wie sie sich bei der Aufzeichnung der statistischen Ergebnisse
im Falle häufiger Wiederholung des Zufallsspiels, im besonderen
bei der Aufzeichnung der Ziehungsresultate, wenn das Zufallsspiel
in den Ziehungen aus einer Urne besteht, ergeben würde.
Wir wollen die Frage, inwieweit die äußere Übereinstimmung
der statistischen Ergebnisse auch auf eine innere Gleichartigkeit
der verglichenen Vorgänge schließen läßt, einstweilen beiseite lassen
und vielmehr nur danach fragen, inwieweit die Übereinstimmung
der statistischen Ergebnisse erreicht werden kann und wie
man beurteilen soll, ob sie in hinreichender Weise vorhanden ist.
Dies ist nicht so ganz einfach zu entscheiden, weil man bei der
verhältnismäßig geringen Anzahl von Beobachtungen, die man
meistens nur zur Verfügung hat, nicht eine völlige Regelmäßigkeit
erwarten darf, vielmehr müssen die so gefundenen Werte
mehr oder minder beträchtlich von den Zahlen abweichen, die
sich bei unendlicher Häufung der Beobachtungen herausstellen
würden.
Die statistischen Ergebnisse der Ziehungen aus der Urne
werden nicht wirklich aufgezeichnet, sie erscheinen ersetzt durch
Die statistische Theorie des Zufalls. 181
die Formeln, welche wir bereits abgeleitet haben, und welchen
die Bedeutung zukommt, daß sie den aus bestimmten theoretischen
Erwägungen gefolgerten Ersatz für eine die wirklichen
Ziehungsergebnisse bei einer sehr großen Zahl von Ziehungen
registrierende Tabelle liefern. Wir haben so bestimmte Formeln,
denen die aus der Gesamtheit alles Geschehens herauszugreifenden
Vorgänge in ihren statistischen Ergebnissen zu entsprechen
haben, d. h. wenn wir diese Ergebnisse graphisch auftragen, muß
die Formel eine Kurve liefern, die verhältnismäßig nahe an den
die statistischen Ergebnisse darstellenden Punkten vorbeiläuft.
Wir können dies auch so ausdrücken, daß wir sagen: die Unterschiede
zwischen den empirisch festgestellten und den aus der
Formel folgenden Werten müssen eine stationäre Reihe bilden,
die sich um den Mittelwert 0 gruppiert. Die sich so ergebende
stationäre Reihe läßt sich aber meistens nicht mit genügender Sicherheit
beurteilen, teils weil ihre Gliederzahl zu gering ist, teils
weil die Genauigkeit der bestimmten Unterschiede verhältnismäßig
zu klein ist. So ist eine exakte Beurteilung der vorliegenden
Verteilungsreihe auf diesem Wege meistens nicht möglich.
Deswegen ist es von Wichtigkeit, bestimmte zahlenmäßige Feststellungen
zu haben, die wenigstens eine vorläufige Beurteilung,
inwieweit die vorliegende Verteilungsreihe sich dem abgeleiteten
Schema anpaßt, ermöglichen.
Diese zahlenmäßigen Feststellungen ergeben sich aus dem
Gedanken, daß, wenn die gefundene Verteilungsreihe die Form
einer aus dem Urnenschema folgenden Verteilungsreihe hat, auch
für sie die Beziehungen gelten müssen, die wir bei dem Urnenschema
fanden. Von solchen Beziehungen war die erste die Relation,
die wir bei dem ersten Urnenschema, den Ziehungen einer
Kugel aus einer Urne, zwischen dem Mischungsverhältnis
Neuntes Kapitel. 182
und der mittleren Ausweichung der entstehenden Verteilungsreihe
erhielten. Diese Relation hat Le x i s 1) benutzt, um einen
ersten Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, inwiefern die Dispersionen,
die sich bei statistischen Verhältniszahlen ergeben, sich mit
der aus dem einfachen Urnenschema folgenden Verteilungsreihe
vergleichen lassen. Zur Aufstellung der Relation ist notwendig,
daß zuerst der Durchschnittswert y0 der sämtlichen beobachteten
r Verhältniszahlen yi berechnet wird. Daraus wird der Wert
für die mittlere Ausweichung 1 in folgender Weise bestimmt
(indem y0 an die Stelle von w tritt):
(1) 1 = ry0(1 􀀀 y0)
n
;
wenn n die Durchschnittsanzahl der Fälle bezeichnet, auf die
sich die einzelnen Verhältniswerte beziehen. Dieses Verfahren
bezeichnet Le x i s als die s t a t i s t i s ch e Me t h o d e. Ihr steht
die sogenannte p hy s i ka l i s ch e Me t h o d e gegenüber, bei
welcher die mittlere Ausweichung nach der Formel
(2) 2 = rP(yi 􀀀 y0)2
r 􀀀 1
bestimmt wird, indem der Fehlertheorie entsprechend r 􀀀 1
statt r genommen wird, was an sich belanglos ist (vgl. S. 88).
Entspricht die Verteilungsreihe dem einfachen Urnenschema, so
müssen die beiden gefundenen Werte gleich sein. Le x i s setzt
daher
(3) Q =
2
1
;
1) Vgl. die grundlegende Schrift Zur Theorie der Massenerscheinungen
in der menschlichen Gesellschaft, Freiburg 1877.
Die statistische Theorie des Zufalls. 183
und spricht von einer n o rma l e n Di s p e r s i o n, wenn wenigstens
angenähert
Q = 1
ist. Wird dagegen Q > 1, so spricht er von einer ü b e r n o rma -
l e n Di s p e r s i o n und im Falle Q < 1 von einer u nt e r n o r -
ma l e n Di s p e r s i o n. DerWert Q wird neuerdings als Di ve r -
g e n z ko e f f i z i e nt bezeichnet. Zu beachten ist von vornherein,
daß seine Bildung nur dann einen Sinn hat, wenn 1 und 2
nicht zu klein sind, weil sonst aus der geringsten Abweichung in
1 oder 2 eine große Schwankung im Werte von Q entstehen
würde. Insbesondere darf also y0 weder nahe an 0 noch nahe an
1 liegen.
Um einen Begriff davon zu geben, wie sich die Werte des
Divergenzkoeffizienten Q in der Wirklichkeit gestalten können,
wollen wir mit Le x i s 1) das Beispiel des Ve r h ä l t n i s s e s d e r
S t e r b l i ch ke i t e n f ü r d a s mä n n l i ch e u n d we i b l i ch e
Ge s ch l e cht i n d e n ve r s ch i e d e n e n Le b e n s a l t e r n
nehmen. Die Zahlen entstammen der belgischen Statistik für
die Jahre 1841 bis 1860. Die Kolumne unter z gibt an die Anzahl
der gestorbenen männlichen Individuen auf 1000 weibliche.
Aus dieser Tabelle geht hervor, daß während des ersten Lebensjahres
die Dispersion als eine normale angesehen werden
kann, ja sogar während der ersten fünf Jahre, da der einzige zu
große Wert 1; 53 in den Mängeln der Statistik begründet sein
kann. Während der folgenden Jahre finden wir dagegen zum
Teil sehr weitgehende Abweichungen von dem Normalwert 1.
1) Conrads Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik, Bd. 32
(1879), S. 60.
Neuntes Kapitel. 184
Alter z Q Alter z Q
Totgeboren 1348 0; 99 15–20 Jahre 770 2; 1
0– 1 Monat 1359 0; 84 20–25 ” 1095 1; 7
1– 2 Monate 1323 1; 15 25–30 ” 905 1; 5
2– 3 ” 1253 0; 91 30–40 ” 826 2; 1
3– 4 ” 1224 1; 14 40–45 ” 943 2; 3
4– 5 ” 1284 1; 04 45–50 ” 1143 3; 4
5– 6 ” 1257 1; 06 50–55 ” 1124 4; 3
6– 9 ” 1179 1; 13 55–60 ” 1055 4; 3
9–12 ” 1085 1; 12 60–65 ” 962 3; 5
1– 2 Jahre 1028 1; 53 65–70 ” 913 4; 3
2– 3 ” 990 1; 06 70–75 ” 906 4; 1
3– 5 ” 947 1; 16 75–80 ” 903 2; 1
5–10 ” 878 1; 66 80–85 ” 866 1; 26
10–15 ” 713 2; 5 85–90 ” 800 1; 29
In der Tat läßt sich eine solche Übereinstimmung, wie sie für
die normale Dispersion gefordert wird, nur aus einer vermuteten
Gemeinsamkeit gewisser allgemeiner Eigenschaften des vorliegenden
Ereignisses mit den Vorgängen bei den Ziehungen aus
einer Urne erklären. Daß eine solche Gemeinsamkeit aber nur
in sehr vereinzelten Fällen angenommen werden kann, liegt auf
der Hand, und so finden sich nur wenige Fälle, in denen wirklich
angenähert Q = 1 wird.
Wir haben aber nachgewiesen, daß auch die Fälle, wo Q 6= 1
wird, sich auf Grund eines abgeänderten Urnenschemas erklären
lassen. Nahmen wir nämlich an, daß das Mischungsverhältnis
der schwarzen und weißen Kugeln in der Urne nicht von
Die statistische Theorie des Zufalls. 185
vornherein feststeht, sondern während der Ziehungen sich ändert
(wir setzten voraus, es sei eine ganze Reihe von Urnen mit
allen möglichen Mischungsverhältnissen vorhanden, und ließen
die einzelnen Ziehungen aus je einer durch das Los oder sonstwie
bestimmten Urne stattfinden), dann zeigte sich, daß die Verteilung
der Ziehungsergebnisse wohl noch, wenn die Reihenfolge
der gewählten Urnen von der einen zur anderen Ziehungsreihe
festgehalten wurde, der gleichen Verteilungsfunktion wie früher,
nämlich der Ga u ßschen Funktion folgte, aber die Beziehung
2 = 1 zwischen den oben angegebenen Werten (1) und (2)
aufhörte zu bestehen und in die Ungleichheit
2 < 1
überging, so daß sich Q < 1, also eine unternormale Dispersion
ergibt. Nennen wir also das Mischungsverhältnis der Kugeln in
der Urne jedesmal die dem Ereignis (d. h. der Ziehung) zugrunde
liegendeWahrscheinlichkeit, so würde sich das allgemeine Resultat
herausstellen:
Di e u nt e r n o rma l e Di s p e r s i o n l ä ß t s i ch e r k l ä -
r e n d u r ch e i n e d em Er e i g n i s z u g r u n d e l i e g e n d e ,
vo n Fa l l z u Fa l l we ch s e l n d e Wa h r s ch e i n l i ch ke i t .
Andererseits hatten wir gefunden, daß, wenn die Ziehungen
einer Reihe immer aus derselben Urne stattfinden, aber unter
den Urnen mit allen möglichen Mischungsverhältnissen diejenige,
aus welcher gezogen werden soll, erst durch das Los bestimmt
wird, dann sich eine Verteilung ergibt, bei der
2 > 1;
die Dispersion also eine übernormale ist.
Neuntes Kapitel. 186
Di e ü b e r n o rma l e Di s p e r s i o n l ä ß t s i ch a l s o
d a d u r ch e r k l ä r e n , d a ß d i e d em Er e i g n i s z u g r u n d e
l i e g e n d e Wa h r s ch e i n l i ch ke i t wo h l b e i a l l e n d e n
Fä l l e n , d i e z u r Bi l d u n g d i e s e s We r t e s d e r r e l a -
t i ve n Hä u f i g ke i t b e nu t z t wu r d e n , d i e s e l b e i s t ,
a b e r n i cht d i e s e l b e b e i d e n ve r s ch i e d e n e n Gr u p -
p e n vo n Fä l l e n , d i e z u d e r Bi l d u n g d e r e i n z e l n e n
r e l a t i ve n Hä u f i g ke i t swe r t e b e nu t z t s i n d .
Damit ist in der Tat eine gewisse Erklärung für das Auftreten
und die Unterscheidung der drei verschiedenen Dispersionsarten
gefunden 1). Man darf aber die Bedeutung dieser Erklärung
nicht überschätzen. Vor allem ist schwer einzusehen, wie
sich in der Wirklichkeit eine von Fall zu Fall wechselnde, aber
bei jeder Gruppe von Fällen in der gleichen Weise wiederkehrende
Wahrscheinlichkeit ergeben soll. Nicht viel natürlicher ist die
Annahme, daß bei jeder Gruppe von Fällen eine andere, aber bei
den einzelnen Fällen einer Gruppe dieselbe Wahrscheinlichkeit
vorhanden sein soll, denn die Einteilung der Fälle in Gruppen, an
denen man die relative Häufigkeit bestimmt, ist doch meist eine
an sich willkürliche, und die Fälle schließen sich örtlich und zeitlich
kontinuierlich aneinander an. Man wird sich daher darauf
beschränken müssen, zu sagen: e i n We ch s e l d e r Wa h r -
1) Der Grundgedanke und ein Teil der analytischen Entwickelung bei
dieser Erklärung geht auf Po i s s o n zurück; die Deutung der übernormalen
Dispersion, die Le x i s ausführlich erörtert hatte, hat insbesondere
v. Bo r t kewi t s ch (Das Gesetz der kleinen Zahlen, 1898, S. 29) noch
weiter ausgestaltet. Man vgl., was allgemein die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung
auf Statistik betrifft, desselben Verfassers Kritische
Betrachtungen zur theoretischen Statistik, Conrads Jahrbücher (3), Bd. 8,
S. 641; Bd. 10, S. 321; Bd. 11, S. 671 (1894–1896).
Die statistische Theorie des Zufalls. 187
s ch e i n l i ch ke i t i n n e r h a l b e i n e r Gr u p p e vo n Fä l l e n
ve r r i n g e r t d i e Di s p e r s i o n , e i n We ch s e l vo n e i n e r
Gr u p p e z u r a n d e r e n e r h ö ht s i e .
Es bleibt noch übrig, kurz der anderen Deutungsart zu gedenken,
wo die Kugeln aus der Urne nicht einzeln, sondern auf
einmal gezogen werden. In diesem Falle tritt in dem Ausdruck
für die mittlere Ausweichung unter der Wurzel zu w(1 􀀀 w)=n
noch ein Faktor (1􀀀) hinzu, der immer < 1 ist, es ergibt sich
also
2 < 1
und demnach wird
Q < 1;
die Dispersion ist also unternormal. Diese Erklärung der unternormalen
Dispersion scheint an sich sehr einleuchtend. Aber
wieder erhebt sich der Einwand, daß es meistens durchaus nicht
der Wirklichkeit entspricht, wenn die Fälle einer Gruppe als eine
natürliche Gesamtheit angesehen werden, wie es doch geschieht,
wenn sie durch die mit e i n em Griff aus der Urne herausgeholten
Kugeln illustriert werden. Immerhin könnte man ja vermuten,
daß gerade da die unternormale Dispersion sich einstellt, wo
die Verhältniszahlen sich in gewisser Weise auf solche natürliche
Gruppen beziehen.
Das bekannteste Beispiel für eine vermutliche normale Dispersion
bildet das Ge s ch l e cht s ve r h ä l t n i s d e r Ge b o -
r e n e n. Auch dieses hat Le x i s ausführlich behandelt (Conrads
Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik, Bd. 27 (1876),
S. 206; Abhandlungen zur Theorie der Bevölkerungs- und Moralstatistik,
1903, S. 130), indem er die Zahlen für die verschiedenen
preußischen Regierungsbezirke in den einzelnen Monaten
Neuntes Kapitel. 188
der Jahre 1868 und 1869 zugrunde legte. Wir wollen seine Resultate
nur für die größten Bezirke anführen. Es ergibt sich:
Bezirk n Q
Königsberg . . . . . 3426 1; 06
Potsdam . . . . . . . 3028 0; 96
Frankfurt. . . . . . . 3211 0; 98
Posen . . . . . . . . . . 3738 1; 01
Breslau. . . . . . . . . 4766 0; 89
Oppeln . . . . . . . . . 4855 0; 92
Magdeburg . . . . . 3650 1; 02
Düsseldorf. . . . . . 4305 1; 12
Die Zahlen n beziehen sich auf die Geburten während eines
Monates. DieWerte von Q kommen hier der Einheit so nahe, wie
man es überhaupt erwarten kann, so daß wir hier in der Tat mit
ziemlicher Sicherheit von einer normalen Dispersion sprechen
können.
Trotzdem wäre der Schluß übereilt, daß wir mit Gewißheit
annehmen können, in dem Geschlechtsverhältnis der Geborenen
liege der Typus einer rein zufälligen Verteilung vor. Abgesehen
davon, daß die bloße Bestimmung des Divergenzkoeffizienten Q
allein dafür nicht ausreichend ist, beruht die Annäherung an den
Wert 1, die Le x i s gefunden hat, wie es scheint, auf der günstigen
Auswahl der Beobachtungsbezirke und der verhältnismäßig
kurz genommenen Beobachtungsdauer. Jedenfalls gelangt man
zu anderen Ergebnissen, wenn man als Beobachtungsdauer statt
eines Monates je ein Jahr und als Beobachtungsbezirk das Königreich
Sachsen nimmt 1). Es ergeben sich folgende Werte für
1) Vgl. E. Bl a s ch ke, Vorlesungen über mathematische Statistik, LeipDie
statistische Theorie des Zufalls. 189
das Verhältnis y der männlichen Geburten zu der Gesamtzahl
der Geburten:
Jahr y Jahr y Jahr y Jahr y
1891 0; 512 14 1896 0; 513 01 1901 0; 511 77 1906 0; 511 14
1892 0; 513 94 1897 0; 512 83 1902 0; 512 43 1907 0; 512 35
1893 0; 512 13 1898 0; 511 85 1903 0; 510 19 1908 0; 511 04
1894 0; 510 36 1899 0; 512 90 1904 0; 512 86 1909 0; 513 21
1895 0; 512 14 1900 0; 514 87 1905 0; 513 20 1910 0; 512 02
Für die Periode 1891 bis 1900 findet man hieraus den Wert
Q = 0; 904, für die Periode 1901 bis 1910 den Wert Q = 0; 705.
Diese Übereinstimmung ist weit weniger gut als die von Le x i s
gefundene.
Daß die Verschiedenheiten der Verhältniszahlen für die einzelnen
Jahre nicht auf bloßen Zufälligkeiten beruhen, kann man
aus den Zahlen für das gesamte Deutsche Reich während der
letzten Jahre ersehen. Es entfallen auf 100 Mädchengeburten an
Knabengeburten:
1906 . . . . . . . . . . . 106; 0 1910 . . . . . . . . . . . 105; 9
1907 . . . . . . . . . . . 106; 3 1911 . . . . . . . . . . . 106; 1
1908 . . . . . . . . . . . 106; 1 1912 . . . . . . . . . . . 106; 5
1909 . . . . . . . . . . . 105; 9
Dabei erscheint auffallend die Steigerung im letzten Jahre
1912. Sieht man nun zu, wie sie zustande gekommen ist, so
erkennt man merkwürdigerweise, daß sie wesentlich von den süddeutschen
Staaten herrührt. Die Zahl hat sich in Preußen von
zig 1906; H. Fo r ch e r, Die statistische Methode als selbständige Wissenschaft,
Leipzig 1913.
Neuntes Kapitel. 190
106; 4 für 1911 nur auf 106; 5 für 1912 bewegt, während wir für
die süddeutschen Staaten finden:
1911 1912
Bayern. . . . . . . . . . . . . . . 105; 9 106; 8
Württemberg . . . . . . . . 103; 6 106; 4
Baden . . . . . . . . . . . . . . . 105; 3 106; 0
Elsaß-Lothringen. . . . . 105; 3 106; 5
Es ist danach kein Zweifel, daß wesentlich auf diesen verhältnismäßig
bedeutenden Verschiebungen auch die Änderung in der
Gesamtziffer beruht.
Der starke Einfluß des Landes auf das Geschlechtsverhältnis
der Geborenen ist bekannt. Es kamen z. B. auf 100 Mädchengeburten
während des Zeitraumes 1887 bis 1891 an Knabengeburten
in England . . . . . 103; 6
in Spanien. . . . . .108; 3
Nach Be r t i l l o n (Anhang zum Annuaire statistique de la
ville de Paris für 1905, Paris 1907) übt das Alter der Mutter
einen deutlich erkennbaren Einfluß auf das Geschlecht des Kindes
aus. Nach den Erhebungen in Paris 1891 bis 1905 ergeben
sich auf 100 Mädchengeburten folgende Zahlen von Knabengeburten:
Alter der
Mutter:
15–19 20–24 25–29 30–34 35–39 40–44 45–49
Eheliche 107; 1 106; 2 106; 4 106; 5 106; 6 113; 0 105; 0
Uneheliche 104; 5 105; 3 102; 2 105; 0 103; 7 112; 1 102; 1
Es zeigt sich also eine deutliche Zunahme der Knabengeburten
für die mittleren Lebensjahre der Mutter.
Die statistische Theorie des Zufalls. 191
Die Bestimmung des Divergenzkoeffizienten Q ist gewissermaßen
der erste Schritt zur Beurteilung der Dispersion. Sie gibt
z. B. noch keinen Anhaltspunkt für die Beurteilung einer vorhandenen
Asymmetrie. Hierfür ist, wie wir bereits gesehen haben,
von Wichtigkeit, daß außer dem arithmetischen Mittel auch
der Zentralwert, unter dem und über dem gleich viel der Beobachtungswerte
liegen, und der Normalwert, für den sich in der
aus der Urreihe abgeleiteten Verteilungsreihe die größte relative
Häufigkeit ergibt, gebildet werden.
Fallen diese drei Werte zusammen, so liefert dies einen Anhaltspunkt
dafür, daß die Dispersion eine symmetrische ist. Wir
haben also folgende drei Werte zu bestimmen:
1. Den Durchschnittswert der Beobachtungswerte
y0 = Pyi
r
oder, wenn wir die Verteilungsfunktion '(y) einführen,
(4) y0 = Z +1
􀀀1
'(y)y dy : Z +1
􀀀1
'(y) dy:
2. Den Zentralwert yz, für den
(5) Z yz
􀀀1
'(y) dy = Z +1
yz
'(y) dy
wird.
3. Den Normalwert ya, für den
(6) '(ya) = Max.
Neuntes Kapitel. 192
wird. Dann muß, wenn eine symmetrische Verteilung vorliegt,
y0 = yz = ya
werden. Dieser Wert kann als der ty p i s ch e We r t bezeichnet
werden.
Man wird sich nun aber schwer entschließen, mit dieser Bestimmung
die Beurteilung der Verteilungsreihe abzuschließen.
Der letzte Zielpunkt muß vielmehr sein, ein „Gesetz“ für die Verteilung
selbst herauszufinden. Auch dazu kann die Betrachtung
des Urnenschemas dienen. Hierbei hat sich uns überall, wo die
Anzahl der beobachteten Fälle sehr groß war, die Ga u ßsche
Verteilungsfunktion ergeben, und wenn wir eine allgemeinere
Verteilungsfunktion erstrebten, so mußten wir sie uns aus der
Übereinanderlagerung Ga u ßscher Funktionen hervorgegangen
denken (ähnlich wie man sich die allgemeine Schwingung aus
der Superposition von Sinuswellen hervorgegangen denkt). Das
legt es nahe, zunächst zu versuchen, wie weit man mit der einfachen
Ga u ßschen Verteilungsfunktion kommt. In diesen Fällen
kann, wie wohl nicht mehr besonders hervorgehoben zu werden
braucht, die Dispersion sowohl eine normale als auch eine
unter- oder übernormale sein, die Gültigkeit des Ga u ßschen
Verteilungsgesetzes und die Le x i ssche Beurteilung der normalen
Dispersion fallen keineswegs zusammen. Es zeigt sich nun,
daß unter der Voraussetzung einer ty p i s ch e n Dispersion, die
der Ga u ßschen Funktion
'(x) =
h
p
e􀀀h2x2
folgt, sich für die Konstante h in dieser Funktion eine dreifache
Bestimmung ergibt. Die eine Bestimmung benutzt die Werte,
Die statistische Theorie des Zufalls. 193
unter oder über denen ein Viertel der beobachteten Zahlenwerte
liegt. Nennt man  den Unterschied dieser Werte, so wird
(7) 1
h1
=

0; 9539
:
Die zweite Formel benutzt die Summe der Abweichungen y aller
Beobachtungswerte, d. h. aller Glieder y der Urreihe, die über
oder unter dem Mittelwert liegen, von diesem Mittelwert. Ist r
die Gesamtzahl aller bestimmten Werte, so folgt
(8) 1
h2
= 2p P+
(yi 􀀀 y0)
r
= 􀀀2p P􀀀
(yi 􀀀 y0)
r
;
wenn P+
, P􀀀
bedeutet, daß die Summation über alle positiven
oder alle negativen Werte der Differenz yi 􀀀y0 erstreckt werden
soll. Die dritte Bestimmung beruht auf der Quadratensumme
aller vorkommenden Abweichungen vom Mittelwert und liefert
(9) 1
h3
= r2P(yi 􀀀 y0)2
r 􀀀 1
:
Der letzte Wert stimmt bis auf den Faktor p2 mit der mittleren
Ausweichung 2 überein. Wenn man im vorliegenden Falle diese
Bestimmungen verwerten will, so muß man alle überhaupt vorliegenden
Bestimmungen, die sich auf die einzelnen Monate der
Jahre 1868 und 1869 beziehen, zusammenfassen und erhält dann
eine Gesamtheit von 816 Einzelbestimmungen. Le x i s zieht es
aber vor, zunächst eine Gruppe aus den 17 größten Bezirken zu
wählen, zu denen auch die oben angeführten gehören. Es liegen
dann nur 408 Einzelbestimmungen vor, für die sich in der Tat
Neuntes Kapitel. 194
nach den drei möglichen Methoden derselbe Mittelwert 1065; 8
und folgende Verteilungsreihe ergibt:
Abweichung Beobachtete Fälle
+ 􀀀 + 􀀀
0– 20 82 73
20– 40 57 65
40– 60 41 43
60– 80 16 9
80–100 5 9
Über 100 3 5
Führt man nun die drei Bestimmungen von h aus, so ergeben
sich die Werte
h1 = 0; 018; h2 = 0; 019; h3 = 0; 019;
also eine gute Übereinstimmung.
Rechnet man aber mit Hilfe des bestimmten Normalwertes
und des Wertes von h nach der Ga u ßschen Funktion die Häufigkeitszahlen
aus, so findet man die folgenden Zahlenreihen:
Berechnet . . . . . . 82 61 37 17 5 2
Beobachtet : : :+
􀀀
82 57 41 16 5 3
74 65 43 9 9 5
Bei der Beurteilung der so erreichten Übereinstimmung muß
man die Unsicherheit bedenken, die an sich wegen der verhältnismäßig
geringen Zahl beobachteter Fälle vorhanden ist. Dann
muß in der Tat die gefundene Übereinstimmung als eine sehr
gute gelten.
Die statistische Theorie des Zufalls. 195
Um noch ein Beispiel zu haben, das von vornherein jeder
solchen Bestimmung zu spotten scheint, wollen wir mit Pe a r -
s o n das Verhältnis der unionistischen Stimmen zur Gesamtzahl
der Stimmen bei den englischen Wahlen im Jahre 1891 nehmen.
Wir haben die herauskommende Verteilungsreihe graphisch auf-
Fig. 8. Verhältnis der unionistischen Stimmen
zur Gesamtzahl der Stimmen bei den englischen Wahlen 1891.
gezeichnet, indem für die Abszisse die Prozente der Stimmenzahl
und für die Ordinate die zugehörigen Anzahlen von Wahlbezirken
genommen sind. Für den zugrunde zu legenden typischen
Wert ergibt sich 0; 51 = 51 Proz. und die drei Bestimmungen
von hi liefern:
h1 = 0; 09; h2 = 0; 11; h3 = 0; 12:
Die Verteilung, die sich nach der Ga u ßschen Funktion ergibt,
ist durch die eingezeichnete Kurve angedeutet.
Neuntes Kapitel. 196
Die Übereinstimmung, die man hier erhält, darf man aber
nicht so deuten, als ob die herauskommenden Prozentsätze der
Stimmenzahl mit den Ziehungsverhältnissen des Urnenschemas
direkt verglichen werden könnten. Die überhaupt möglichen Prozentsätze
von 0 bis 100 Proz. entsprechen vielmehr alle einem
nur zwischen sehr engen Grenzen schwankenden Ziehungsverhältnis.
Es werden gar nicht mehr die Verhältniswerte als solche
verglichen, sondern nur die herauskommenden Verteilungsreihen.
Die Vergleichung wird damit viel äußerlicher. Wir vergleichen
nicht mehr den wirklichen Vorgang selbst mit dem Vorgang
bei den Ziehungen aus einer Urne. Wir versuchen nur, die
aus dem Urnenschema theoretisch abgeleitete Verteilungsfunktion
der wirklich beobachteten Verteilungsreihe anzupassen. Wir
können höchstens die Vorgänge bei der Ziehung aus der Urne
symbolisch fassen, indem wir sie als den Ausdruck für beliebige
Zufallsvorgänge deuten, die wir so einer Berechnung zugänglich
machen. Es würde in dem vorliegenden Beispiel etwa das Ziehen
einer weißen Kugel einen sehr kleinen Ausschlag der Stimmen
nach der unionistischen Seite bedeuten.
Man kann aber auch von der Herleitung der Formel aus dem
Urnenschema, nachdem sie einmal gewonnen ist, völlig absehen
und sich darauf beschränken, die Vorgänge zu suchen, die sich
dieser Formel anpassen und damit einen gemeinsamen Charakter
zeigen, den man definitionsmäßig als den des Zufälligen ansehen
kann.
Sehr wichtig erscheinen hierbei zunächst die Fälle, wo die
Gültigkeit der Ga u ßschen Verteilungsfunktion als eine physikalische
Hypothese erscheint. Dies gilt vor allen Dingen für die
Bewegungen der kleinsten Teile der Materie, zunächst der Moleküle.
Die Bewegungen der Moleküle sind unbeobachtbar und
Die statistische Theorie des Zufalls. 197
daher ist eine unmittelbare Kontrolle durch die Erfahrung in
diesem Falle unmöglich. Eine solche gelingt jedoch bei sehr kleinen,
in einer Flüssigkeit suspendierten Teilchen, die den Molekularbewegungen
ähnliche und, wie man glaubt, durch die Molekularbewegungen
(nämlich die Stöße der Flüssigkeitsmoleküle
auf die festen Teilchen) unmittelbar veranlaßte Bewegungen, die
sogenannten Br ownschen Bewegungen, ausführen. J. Pe r r i n
(Die Atome, deutsch von Lo t t e rmo s e r, Dresden und Leipzig
1914) hat in einem Falle die Verschiebungen der Teilchen in
Zwischenräumen von 30 Zeitsekunden notiert und daraus folgende
Tabelle gefunden, in der den beobachteten die nach der
Ga u ßschen Verteilungsfunktion für die 500 Beobachtungen berechneten
Anzahlen hinzugefügt sind. Der Wert von " beträgt
1; 96 Mikron.
Verschiebungen,
die enthalten sind
zwischen
Anzahl
berechnet
Anzahl
beobachtet
0 und " 32 34
" ” 2" 83 78
2" ” 3" 107 106
3" ” 4" 105 103
4" ” 5" 75 75
5" ” 6" 50 49
6" ” 7" 27 30
7" ” 8" 14 17
8" ” 1 7 9
Die Tabelle ist zugleich lehrreich dafür, welche Übereinstimmung
man erwarten darf, wo die Gültigkeit der Ga u ßschen VerNeuntes
Kapitel. 198
teilungsfunktion von vornherein so gut wie sicher ist 1). Ein weiteres
besonders hervorragendes Beispiel besteht in der Messung
der Körperlänge erwachsener Personen. Hierfür hat Pe a r s o n 2)
ausgezeichnetes Material in den Messungen der Körpergröße von
25 875 Rekruten der Armee der Vereinigten Staaten angeführt.
Die Körpergrößen sind in Zoll und daneben die Anzahlen der
Rekruten von der betreffenden Größe angeführt.
Wir beginnen damit, daß wir den Mittelwert auf die drei
angegebenen Weisen bestimmen. Wir finden dann mit ziemlich
genauer Übereinstimmung den Mittelwert oder Normalwert
y0 = 66; 7:
Hierauf berechnen wir die Größe h nach den angegebenen drei
1) Man vergleiche des weiteren L. v. Bo r t kewi t s c h, Die radioaktive
Strahlung als Gegenstand wahrscheinlichkeitstheoretischer Untersuchungen,
Berlin 1913.
2) Man vgl. die Aufsätze von Pe a r s o n in den Transactions of the
Royal Society 1894 bis 1903 (Vol. 185 bis 198) und Philosophical Magazine
1900, 1901 (Vol. 50, 1), ferner seine Schrift The chances of death etc.,
London 1897. Daneben ist es interessant, die Arbeiten von Ed g ewo r t h
einzusehen, besonders Journal of the Royal Statistical Society, Vol. 60 bis
62 (1897 bis 1899), und als besondere Schrift unter dem Titel The representation
of Statistics by mathematical formulae, London 1900. An zusammenfassenden
Darstellungen kann man außer den bereits angeführten etwa
vergleichen Ki n g, Elements of statistical method, New York u. London,
Macmillan, Dave n p o r t, Statistical Methods, New York, Wiley & Son.
Ferner die Schriften von We s t e r g a a r d, Grundzüge der Theorie der Statistik,
Jena 1890, Lehre von der Mortabilität und Morbidität, 2. Aufl. 1901.
Unter den Lehrbüchern der Wahrscheinlichkeitsrechnung hat besonders das
von Cz u b e r (Leipzig 1902) die statistischen Anwendungen ausführlich
behandelt.
Die statistische Theorie des Zufalls. 199
Körpergröße Anzahl Körpergröße Anzahl
78–77 2 64–63 1947
77–76 6 63–62 1237
76–75 9 62–61 526
75–74 42 61–60 50
74–73 118 60–59 15
73–72 343 59–58 10
72–71 680 58–57 6
71–70 1485 57–56 7
70–69 2075 56–55 3
69–68 3133 55–54 1
68–67 3631 54–53 2
67–66 4054 53–52 1
66–65 3475 52–51 1
65–64 3019
Methoden und finden so
h1 = 0; 27; h2 = 0; 27; h3 = 0; 28:
Wir erhalten dann das Bild, das in Fig. 9 auf der folgenden Seite
dargestellt ist. Die Übereinstimmung ist recht gut, so daß wir in
der Tat annehmen können, daß die Verteilung der Körpergrößen
erwachsener Personen dem Ga u ßschen Verteilungsgesetz folgt.
Dagegen haben Messungen an gleichaltrigen Kindern gezeigt,
daß die Verteilung bei nicht erwachsenen Personen eine andere,
nämlich eine wesentlich unsymmetrische ist, indem ein Zurückbleiben
des Wachstums gegen den normalen Wert häufiger als
ein Vorauseilen ist.
Die Auffassung, daß man in dem Ga u ßschen VerteilungsNeuntes
Kapitel. 200
gesetz das Symptom für eine auf bloßen Zufälligkeiten beruhende
Verteilung zu sehen habe, ist lange Zeit durchaus herrschend gewesen.
Ihr ist z. B. Qu é t e l e t durchaus gefolgt, sie findet sich
auch in dem englischen Werke von Ve n n, The logic of chance
(London 1876) konsequent vertreten. Diese Ansicht ist aber,
wie wir gesehen haben, weder in dem Sinne richtig, daß, wo
die Verteilung mit hinreichender Annäherung dem Ga u ßschen
Verteilungsgesetz folgt, die Abweichungen bestimmt in jedem
einzelnen Falle nur auf Zufälligkeiten beruhen, noch in dem Sinne,
daß sich immer die Ga u ß sche Verteilungsfunktion ergibt,
wo wir zufällige Schwankungen anzunehmen haben. Dies geht
aus der Verallgemeinerung hervor, die wir an das Urnenschema
angeknüpft haben, indem wir annahmen, daß erst durch das Los
bestimmt wird, aus welcher von mehreren vorhandenen Urnen
gezogen wird. Wir haben dabei im Gegensatz zu der Symmetrie
der Ga u ßschen Verteilungsfunktion eine wesentlich unsymmetrische
Verteilung gefunden, und es scheint von Interesse, auch
dafür ein Beispiel zu finden.
Der einfachste Fall, den wir hierbei annehmen können, ist
der, wo nur zwei Urnen vorhanden sind, wo also nur zwei Wahrscheinlichkeiten
w1 und w2 dafür, daß aus der einen oder anderen
Urne gezogen wird, in Betracht kommen. Die Relation
w1 + w2 = 1 kommt weiter nicht in Frage, da noch mit einer
Konstanten c multipliziert werden muß. Wir können dann (indem
wir c1 = cw1, c2 = cw2 setzen) die Verteilungsfunktion
schreiben:
(10) (z) =
c1h1 p
e􀀀h2
1 (z􀀀u1)2
+
c2h2 p
e􀀀h2
2 (z􀀀u2)2
:
Für diese Verteilungsfunktion wollen wir, wiederum nach
Die statistische Theorie des Zufalls. 201
Fig. 9.
Pe a r s o n, ein Beispiel geben. Dieses Beispiel hat eine gewisse
Berühmtheit erlangt, weil es den Ausgangspunkt weitergehender
Untersuchungen gebildet hat.Wenn eine solche Streuung wie die
angeführte besteht, so liegt der Fall genau so, als ob die beobachteten
Individuen aus zwei Gattungen gemischt seien, für deren
Verteilung einzeln die gewöhnliche Ga u ß sche Verteilungsfunktion
gilt. Man beobachtet nun eine entsprechende Verteilung bei
biologischen Individuen auch dann, wenn nicht sie selbst, wohl
aber ihre Vorfahren aus zwei verschiedenen Arten gemischt sind.
Es wird also das Bestehen einer solchen Verteilung das Kennzeichen
für eine stattgefundene Bastardierung.
Neuntes Kapitel. 202
Das Beispiel, das wir geben wollen, bezieht sich auf die
„Stirnbreite“ von 1000 Krabben aus dem Golf von Neapel. Die
zugrunde liegende Tabelle ist die auf folgender Seite.
Um die in der graphischen Darstellung (Fig. 10) eingezeichnete
Kurve zu erhalten, die sich den beobachteten Werten möglichst
anschmiegt, sind für die Konstanten in der Formel folgende
Werte genommen (für den Durchschnittswert ist z = 0, woraus
􀀀c1u1 = c2u2):
c1 = 414; 5; u1 = 􀀀3; 517; h1 = 0; 159;
c2 = 585; 5; u2 = 2; 490; h2 = 0; 228 1):
1) Außer den hier angeführten Verteilungsfunktionen, die alle auf die
Ga u ß sche Funktion zurückgehen, gibt Pe a r s o n (Transactions of the
Royal Society, London 1895) noch eine Anzahl anderer an, die er ebenfalls
an das Urnenschema anknüpft. Es wird hierbei das Urnenschema aber
nur als heuristisches Prinzip benutzt, indem in der abgeleiteten Formel die
Grenzen, in denen die Konstanten bleiben müssen, und notwendige Voraussetzungen,
die bei der Ableitung zu machen sind, außer acht gelassen
werden. Dieses Verfahren ist gewiß berechtigt, wenn es sich um nichts anderes
handelt als darum, passende Annäherungsfunktionen für die empirisch
gefundenen Verteilungen zu gewinnen. Es ist dann die Aufgabe, an möglichst
zahlreichen Beispielen die angesetzten Funktionen zu erproben. In
dieser Hinsicht ist eine Durchsicht der Zeitschrift Biometrika, A Journal
for the statistical study of biological problems (Cambridge, seit 1901, herausgegeben
von We l d o n, Pe a r s o n, Dave n p o r t und Ga l t o n) zu
empfehlen, in deren ersten Bänden sich zahlreiche solche Beispiele finden.
Durch die Art aber, wie die Pe a r s o nschen Untersuchungen auch in der
letzten Zeit (z. B. bei Fo r ch e r, Die statistische Methode, Leipzig 1913)
wiedergegeben worden sind, wird nur zu leicht der Anschein erweckt, als
ob es sich um eine wirkliche Ableitung der entstehenden Verteilungen aus
dem Urnenschema handle. Die Darstellung bei Fechner (Kollektivmaßlehre,
Die statistische Theorie des Zufalls. 203
Maßzahlen
Anzahl
Individuen
1 1
2 3
3 5
4 2
5 7
6 10
7 13
8 19
9 20
10 25
11 40
12 31
13 60
14 62
15 54
16 74
17 84
18 86
19 96
20 85
21 75
22 47
23 43
24 24
25 19
26 9
27 5
28 —
29 1
30 —
Fig. 10.
Neuntes Kapitel. 204
Es bleibt noch übrig, die Anwendung der Formel, die für
verhältnismäßig seltene Ereignisse gilt, durch ein Beispiel zu erläutern.
L. v. Bo r t kewi t s ch hat in seiner Schrift Das Gesetz
der kleinen Zahlen (Leipzig 1898) die Bedeutung dieser
Formel besonders hervorgehoben. Es erscheint beinahe a priori
einleuchtend, daß die störenden Einwirkungen, die sonst das
Zustandekommen einer regulären Verteilung verhindern, indem
in den einzelnen verglichenen Bezirken verschiedene Verhältnisse
obwalten, sich am wenigsten geltend machen, wenn an den verschiedensten
Stellen durch ein verhältnismäßig seltenes Ereignis
einzelne Fälle, sozusagen Stichproben, herausgegriffen werden.
Wir hatten gesehen, daß in diesem Falle die Formel gilt:
(11) 'p =
mpe􀀀m
p!
;
wobei die Beziehungen bestehen müssen:
(12) P'p = 1; m = Pp'p; m0 = P(p 􀀀 m)2'p; m0 = m:
Es ist zunächst zu prüfen, ob diese Beziehungen erfüllt sind.
Wir wollen nun hierfür ein Beispiel nehmen und wählen mit
Bo r t kewi t s ch die Anzahl der Soldaten, die während der Jahre
1875 bis 1894 innerhalb der Armeekorps II bis V, VII bis X,
XIV und XV des preußischen Heeres durch Hufschlag eines Pferdes
getötet wurden. Die einzelnen Zahlen pi usw. bedeuten dann
die innerhalb eines Armeekorps während eines Jahres Getöteten.
herausgegeben von G. F. Li p p s, Leipzig 1899), der auf andere Weise eine
Verallgemeinerung der Ga u ßschen Funktion anstrebt, ist darin durchsichtiger.
Die statistische Theorie des Zufalls. 205
Es ergeben sich dabei:
0 1 2 3 4 5 und mehr Getötete
in 109 65 22 3 1 0 Fällen,
und daraus folgt der Wert
m =
65 
 1 + 22 
 2 + 3 
 3 + 4 
 1
200
= 0; 61:
Übereinstimmend damit ergibt sich auch für m0 der Wert 0; 61.
Rechnet man nun mit Hilfe des Ausdruckes
z0
mp
p!
die zu erwartenden Häufigkeiten von p Todesfällen aus, indem
man z0 (die Häufigkeit für p = 0) daraus bestimmt, daß die
Summe aller Häufigkeiten gleich 200 sein muß, woraus
z0 = 200 
 e􀀀m
folgt, so findet man statt der obigen Werte die Zahlen:
109 66 20 4 1 0:
Die Übereinstimmung ist außerordentlich gut. Daß sie auf einem
bloßen Zufall beruht, ist nicht anzunehmen. Vielmehr haben wir
uns zu denken, daß alle örtlichen und zeitlichen Besonderheiten,
die sonst als systematische Abweichungen hervortreten, dadurch
unwirksam werden, daß eine rein zufällige Auswahl durch das
betrachtete seltene Ereignis getroffen wird und daß wir deswegen
annähernd dieselben Verhältnisse haben müssen, wie sie bei der
Begründung aus dem Urnenschema vorausgesetzt werden 1).
1) An kurz zusammenfassenden Darstellungen mit reichen LiteraturNeuntes
Kapitel. 206
angaben vgl. man den Artikel von Bo r t k i ewi c z, Anwendungen der
Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Statistik, Enzyklopädie der math. Wissenschaften,
Bd. I, 2. Teil, Leipzig 1900–1904, Cz u b e r, Die Entwickelung
der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer Anwendungen, Jahresbericht der
Deutschen Math.-Ver., Bd. VII, Leipzig 1899, ferner die Artikel Geschlechtsverhältnis
der Geborenen und Gestorbenen (v. May r), Gesetz (L e x i s),
Sterblichkeit (v. Bo r t k i ewi c z) im Handwörterbuch der Staatswissenschaften
von Le x i s und El s t e r.
Zehntes Kapitel.
Die genetische Theorie des Zufalls.
Die statistische Theorie des Zufalls offenbart einen gemeinschaftlichen
Charakter in der Verteilung der statistischen Ergebnisse
bei solchen Ereignissen, die wir als zufällige anzusehen gewohnt
sind. Wir erhalten aber keinen unmittelbaren Aufschluß
darüber, wie wir uns das Zustandekommen einer solchen Verteilung
in der Wirklichkeit denken können. Es bleibt daher das
Bedürfnis bestehen, sozusagen in den inneren Mechanismus des
Geschehens einzudringen und sich klar zu machen, wie die als
typisch für die Zufallsereignisse angesehene Verteilung auch auf
einer inneren Übereinstimmung der in Betracht kommenden Ereignisse
beruht.
Als die am sichersten als zufällig zu bezeichnenden Ereignisse
gelten nun die Ereignisse, die in dem Begehen eines bestimmten
Beobachtungsfehlers bei sehr sorgfältig ausgeführten
Beobachtungen bestehen, d. h. sich der in der Abweichung der
in der gleichen Weise und mit der gleichen Sorgfalt bestimmten
Werte voneinander kundgeben. Für diese Fehler hat die Erfahrung
mit hinreichender Gewißheit die Geltung des sogenannten
Ga u ßschen Fehlergesetzes, das durch die Funktion
'(x) =
h
p
e􀀀h2x2
geliefert wird, ergeben.
Zehntes Kapitel. 208
Man kann es nun als die Aufgabe hinstellen, eine Erklärung
dafür zu suchen, wie dieses eigentümliche Gesetz für die
Verteilung der Fehler zustande kommt.
Der Astronom Be s s e l ist der erste gewesen, der diese
Frage zu beantworten gesucht hat (Untersuchungen über die
Wahrscheinlichkeit der Beobachtungsfehler, Astron. Nachrichten,
Bd. 15, 1838). Er dachte sich, daß jeder Fehler das Resultat
des Zusammentreffens einer großen Anzahl von Elementarfehlern
ist, die einzeln bestimmten Fehlerquellen entstammen. Die
einfachste Annahme ist dabei die, die Elementarfehler alle als
dem absoluten Betrag nach gleich vorauszusetzen, etwa gleich e,
und weiter zu sagen, jeder einzelne Elementarfehler gehe gleich
oft mit dem positiven und dem negativen Vorzeichen in das Resultat
ein. Dieses Resultat entspricht dann einer bestimmten
Vorzeichenkombination der Elementarfehler. Man kann diesen
Vorgang sehr einfach auf das Urnenschema zurückführen, indem
man eine Urne voraussetzt, in der gleich viele schwarze und
weiße Kugeln gemischt enthalten sind. Das Ziehen einer weißen
Kugel bedeutet denn das Begehen des Elementarfehlers +e, das
Ziehen einer schwarzen Kugel das Begehen des Elementarfehlers
􀀀e. Wenn nun eine große Anzahl n = p+q Male eine Kugel
aus der Urne gezogen ist, so wird, wenn hierbei p mal eine weiße
und q mal eine schwarze Kugel gefunden wurde,
x = (p 􀀀 q)e
der begangene Gesamtfehler.
Die relative Häufigkeit dieses Gesamtfehlers wird
(p + q)!
p! q! 1
2p 1
2q
Die genetische Theorie des Zufalls. 209
oder wenn man
p =
n
2
+ u; q =
n
2 􀀀 u
setzt,
wu =
n!
n
2
+ u! n
2 􀀀 u! 
 1
2n
:
Es handelt sich nun darum, hierfür einen Näherungswert zu finden,
indem man n sehr groß und u als verhältnismäßig klein
gegen n annimmt.
Wir bilden zu dem Zweck
wu
wu􀀀1
=
n
2 􀀀 u
n
2
+ u
;
dividieren Zähler und Nenner dieses Bruches durch 1
2n und setzen
2
u
n
= z;
dann wird
wu
wu􀀀1
=
1 􀀀 z
1 + z
:
Wir erhalten also, indem wir weiter setzen
z =
x
ne
;
woraus
x = 2ue;
Zehntes Kapitel. 210
da z ein sehr kleiner Bruch ist,
wu 􀀀 wu􀀀1
wu
= 􀀀
2z
1 􀀀 z
= 􀀀2z = 􀀀
2x
ne
;
also, wenn wir berücksichtigen, daß
wu = '(x) und demnach wu 􀀀 wu􀀀1
wu
= d ln '(x)
wird,
d ln '(x) = 􀀀
2x
ne
;
ferner dx = 2e, da einer Vermehrung von u um 1 eine Vermehrung
von x um 2e entspricht, und somit schließlich
'(x) = Ce􀀀h2x2
entsprechend dem ursprünglichen Ansatz, wenn wir noch h =
1
p2ne
machen.
Es ist aber wichtig, sich von der Be s s e lschen Annahme
frei zu machen, daß jede Fehlerquelle nur Fehler von bestimmtem
absoluten Betrage liefern könne, und dafür die allgemeinere
Voraussetzung einzuführen, daß jede Fehlerquelle
1. gleich große positive und negative Fehler mit gleich großer
relativer Häufigkeit ergebe und
2. nur sehr kleine Fehler, aber
3. innerhalb gewisser Grenzen jeden beliebigen Fehler liefern
könne 1).
1) Vgl. Cr o f t o n, On the proof of the law of errors of observations, Philosophical
Transactions, Vol. 159 (1869), Artikel Probability, Encyclopaedia
Britannica, 9. ed., Vol. 19 (1885).
Die genetische Theorie des Zufalls. 211
Sogar von der Voraussetzung 1. können wir, wie wir sehen
werden, Abstand nehmen.
Wir nehmen an, die Aufgabe sei bereits gelöst, wenn die
Zahl der Fehlerquellen n beträgt. Man habe die Fehlerfunktion
gefunden, die durch das Zusammenwirken dieser n Fehlerquellen
entsteht, und man nenne diese Fehlerfunktion 'n(x). Dann
komme noch eine Fehlerquelle hinzu, zu der die Fehlerfunktion
n+1(x) gehöre, und man suche die nun entstehende neue Fehlerfunktion
'n+1(x) zu bestimmen. Wir haben dann, da, wenn
die letzte Fehlerquelle den Fehler u liefert, die übrigen Fehlerquellen
den Fehler x􀀀u liefern müssen, damit der Gesamtfehler
x werde,
'n+1(x) = Z +r
􀀀r
'n(x 􀀀 u)n+1(u) du;
wo +r und 􀀀r die Extremwerte sind, bis zu denen die Argumente
der Funktion n+1(u) reichen.
Wir entwickeln unter dem Integralzeichen 'n(x 􀀀 u) nach
dem Tay l o rschen Lehrsatze, und finden
'n+1(x) = Z +r
􀀀r 'n(x) 􀀀 u'0n(x) + 1
2u2'00 n(x)n+1(u) du:
Die höheren Potenzen von u können wir vernachlässigen.
Es ist nun Z +r
􀀀r
n+1(u) du = 1;
und setzen wir ferner
Z +r
􀀀r
un+1(u) du = jn+1; Z +r
􀀀r
u2n+1(u) du = kn+1;
Zehntes Kapitel. 212
so wird jetzt
'n+1(x) = 'n(x) 􀀀 jn+1'0n(x) + 1
2kn+1'00 n(x):
Wir erkennen daraus, daß es gleichgültig ist, welche Form
wir der Funktion n+1(u) geben, wenn sie nur die richtigen Werte
von jn+1 und kn+1 liefert. Wir wollen deshalb insbesondere für
die Funktion den Ansatz machen:
n+1(u) =
n+1 p
e􀀀2
n+1(u􀀀un+1)2
;
es ergibt sich dann:
jn+1 = Z +r
􀀀r
un+1(u) du = un+1;
kn+1 = Z +r
􀀀r
u2n+1(u) du =
1
22
n+1
+ u2
n+1:
Wir können nun bestätigen, daß unter dieser Voraussetzung
für die Verteilungsfunktion sich ebenfalls die Form
'n(x) =
hn p
e􀀀h2
n(x􀀀xn)2
ergibt. Wir zeigen dies, indem wir nachweisen, daß durch das
Hinzutreten einer neuen Fehlerquelle sich diese Form nicht ändert.
Da diese Form aber für e i n e Fehlerquelle als gültig angenommen
werden kann, gilt sie nach dem Bewiesenen dann auch
für zwei, weiter für drei, vier usw. Fehlerquellen und damit allgemein.
Die genetische Theorie des Zufalls. 213
Setzen wir also voraus, in der Formel
n+1(x) = Z +r
􀀀r
'n(x 􀀀 u)n+1(u) du
seien die obigen Ausdrücke für 'n(x 􀀀 u) und n+1(u) eingesetzt,
dann wird, wenn wir noch für die Grenzen 􀀀r und +r
􀀀1 und +1 schreiben,
'n+1(x) = Z +1
􀀀1
ce􀀀h2
n(x􀀀u􀀀xn)2
e􀀀2
n+1(u􀀀un+1)2
du;
wo c eine Konstante ist. Die beiden Potenzen von e vereinigen
sich zu einer einzigen, deren Exponent
= 􀀀h2
n(x 􀀀 u 􀀀 xn)2 􀀀 2
n+1(u 􀀀 un+1)2
= 􀀀(h2
n + 2
n+1)u2 + 2h2
n(x 􀀀 xn) + 2
n+1un+1u
􀀀h2
n(x 􀀀 xn)2 + 2
n+1u2
n+1 = 􀀀(h2
n + 2
n+1)(u 􀀀 u0n)2 􀀀
2
n+1h2
n
h2
n + 2
n+1
(x 􀀀 xn 􀀀 un+1)2
ist, wenn
u0n =
h2
n(x 􀀀 xn) + 2
n+1un+1
h2
n + 2
n+1
gesetzt wird. Hieraus folgt:
'n+1(x) = Ce􀀀
2
n+1h2
n
h2
n+2
n+1
(x􀀀xn􀀀un+1)2
;
wo C eine neue Konstante ist.
Zehntes Kapitel. 214
Setzen wir mithin
'n+1(x) = Ce􀀀h2
n+1(x􀀀xn+1)2
;
so wird
1
h2
n+1
=
1
h2
n
+
1
2
n+1
; xn+1 = xn + un+1:
Also ist
(1) 1
h2
n
=
1
2
1
+
1
2
2
+ 
 
 
 +
1
2
n
und
(2) xn = u1 + u2 + 
 
 
 + un:
Nun ist, wie wir oben (S. 158) gefunden hatten,
(3) ui = Z +1
􀀀1
ui(u) du:
Also wird ui der Mittelwert, um den sich die aus der iten Fehlerquelle
fließenden Fehler gruppieren, und die resultierende Fehlerfunktion
ist auf einen Mittelwert bezogen, der die Summe aus
den Mittelwerten aller einzelnen Fehlerquellen ist. Diesen Wert
können wir als den s y s t ema t i s ch e n Fe h l e r der Beobachtungen
ansehen.
Ferner ergibt sich:
(4) 1
22
i
= Z +1
􀀀1
(u 􀀀 ui)2i(u) du;
Die genetische Theorie des Zufalls. 215
also gleich dem Quadrat 2
i des mi t t l e r e n z u f ä l l i g e n
Fe h l e r s bei der iten Fehlerquelle, und wir finden für den
mittleren Fehler  bei der resultierenden Fehlerfunktion:
(5) 2 = 2
1 + 2
2 + 
 
 
 + 2
n:
Die Resultate, die wir so für den besonderen Fall gefunden
haben, wo die zugrunde gelegte Messungsreihe aus verschiedenen
Messungen einer und derselben physikalischen Größe besteht,
lassen sich auch sofort auf den Fall übertragen, wo eine Reihe
an verschiedenen Objekten ausgeführter Beobachtungen in ihrer
Verteilung der Ga u ßschen Funktion folgt. Wir finden, daß eine
solche Verteilung entstehen muß, wenn die an den Objekten beobachteten
Verschiedenheiten auf zufälligen Abweichungen von
einem bestimmten Normaltypus beruhen, d. h. wenn eine große
Anzahl an sich sehr geringfügiger und voneinander unabhängiger
Umstände zusammenwirken, um die beobachtete Abweichung zu
erzeugen.
In diesem Sinne könnten wir von einem objektiven Zufalle
sprechen, der Zufall würde dann in dem Zusammentreffen einer
großen Anzahl von Umständen bestehen, die untereinander
in keiner unmittelbaren kausalen Beziehung stehen, und deren
Zusammentreffen den beobachteten Erfolg herbeiführt.
Hierdurch wird der Bereich des Zufälligen aber außerordentlich
eingeschränkt, denn gerade daß eine große Menge von gegenseitig
unabhängigen Einzelumständen zusammentreffen soll,
scheint in der Wirklichkeit selten erfüllt. Wohl findet man, wenn
man ein Zufallsereignis in den Einzelheiten seines Zustandekommens
verfolgt, eine Reihe von Umständen, die zusammen das
Ereignis hervorgerufen haben, aber diese Umstände stehen nicht
Zehntes Kapitel. 216
außer Zusammenhang, sie bilden vielmehr die Glieder in wenigen
Ketten von kausalen Zusammenhängen. Meistens wird man
sogar nur zwei solcher Ketten feststellen können. So wird man,
um auf das Beispiel des von einem herabfallenden Ziegel getöteten
Passanten zurückzukommen, die zwei Ketten von Ursache
und Wirkung verfolgen, die auf der einen Seite das Vorübergehen
des Menschen gerade an dieser Stelle und auf der anderen
Seite das Herabfallen des Ziegels gerade zu dieser Zeit erklären.
Damit aber wird die Anwendung der in diesem Kapitel angestellten
Analyse, wie es scheint, in den meisten Fällen illusorisch. Es
soll diese Analyse jedoch auch gar nicht eine allgemeine genetische
Erklärung der Zufallsereignisse geben. Sie liefert nur e i n
Beispiel dafür, wie die für die Zufallsereignisse typische Verteilung
zustande kommen kann. Dieses Beispiel ist deshalb von besonderer
Bedeutung, weil die gegebene Erklärung in einem sehr
wichtigen Falle, nämlich bei gleich sorgfältigen Beobachtungen
einer und derselben physikalischen Größe, tatsächlich zu stimmen
scheint. Daß die typische Verteilung auch auf ganz andere
Art zustande kommen kann, lehrt schon das Beispiel der Urnenziehungen.
Es ist gerade das Merkwürdige an der Ga u ßschen
Verteilungsfunktion, daß sie sich auf ganz verschiedene, anscheinend
voneinander völlig unabhängige Arten ergibt.
Wenn wir nun zum Schluß die Ergebnisse unserer Betrachtungen
kurz zusammenfassen, so ist der Gewinn, den wir erzielt
haben, nicht darin zu suchen, daß die Auffassung des einzelnen
zufälligen Ereignisses eine Vertiefung erfahren hat. Dagegen haben
wir gesucht, den Nachweis zu führen, daß auch die zufälligen
Ereignisse nicht die Regelmäßigkeit und Ordnung des allgemeinen
Geschehens durchbrechen, daß vielmehr auf eine bestimmte
Weise bei diesen zufälligen Ereignissen ein Ausgleich stattfindet
Die genetische Theorie des Zufalls. 217
für das, was sie als störendes Element in die Gesetzmäßigkeit
des Geschehens hineintragen.
Hierin liegt an sich nichts Neues und Überraschendes, vielmehr
etwas nahezu Selbstverständliches. Wir brauchen ja bloß
zu bedenken, daß die Vorgänge in den kleinsten Teilen der Materie
als Zufallsereignisse anzusehen sind, und daß sonach, wofern
überhaupt in dem physikalischen Geschehen eine Regelmäßigkeit
zu erkennen sein soll, diese auf einem Ausgleich der Zufälligkeiten
in den Veränderungen der kleinsten Elemente beruhen
muß. Wir verlassen uns auf diesen Ausgleich wie auf ein Naturgesetz,
z. B. ist der sogenannte zweite Hauptsatz der mechanischen
Wärmetheorie, nämlich der Satz, daß die Wärme nicht von
selbst vom kälteren zum wärmeren Körper strömt, nichts wie ein
Ausdruck für den Ausgleich, der in den molekularen Bewegungen
stattfindet. Es ist aber wichtig, sich klar bewußt zu sein,
daß hiermit ein neues Moment in die Naturerklärung hineingetragen
wird, das von anderer Art ist wie die eine regelmäßige
kausale Verknüpfung aussagenden Naturgesetze. Das Wesentliche
an allen zufälligen Ereignissen ist eben das, daß sie allein
aus der Regelmäßigkeit kausaler Verknüpfungen nicht zu erklären
sind.Wenn daher sich in der Gesamtheit der Zufallsereignisse
einer bestimmten Gruppe eine Regelmäßigkeit wiederfindet, so
ist diese von anderer Art als die kausalen Zusammenhänge, und
die Voraussetzung einer unverbrüchlichen Kausalität in allem
Naturgeschehen mag wohl aufrecht erhalten werden, sie reicht
allein aber nicht hin, um die Regelmäßigkeit des Weltgeschehens
vollständig zu erklären. Es gehört vielmehr die Tatsache
hinzu, die wir als das Gesetz der großen Zahlen bezeichnen und
die bewirkt, daß die Unregelmäßigkeiten, die sonst durch die zufälligen
Ereignisse in die Welt hineingetragen würden, in dem
Zehntes Kapitel. 218
Gesamtergebnis doch wieder verschwinden.
Wenn wir diese Elimination des Zufalls als eine allgemeine
Tatsache hinstellen, so müssen wir uns bewußt sein, daß wir
für diese Tatsache keine bestimmte Erklärung geben können,
daß wir sie vielmehr nur insoweit behaupten können, wie sie uns
durch die Erfahrung bestätigt wird. Unser Verstand sträubt sich
allerdings dagegen, ein so allgemeines Prinzip nur deshalb anzunehmen,
weil hier und dort seine Richtigkeit bezeugt wird,
vielmehr drängt er dahin, auch einen inneren Grund für einen
solchen Ausgleich zu finden. Ein solcher innerer Grund läßt sich
aber nicht ermitteln. Würden wir zu ihm gelangen können, so
müßte uns eine Einsicht in den Mechanismus des Geschehens zu
Gebote stehen, wie wir sie nicht haben.Was uns gegeben ist, sind
die einzelnen Erfahrungen. Nur indem wir diese zusammenhalten,
miteinander vergleichen, Gleichartiges zusammenschließen
und die dabei sich herausstellenden regelmäßigen Zusammenhänge
aufdecken, gelangen wir dazu, das zu erreichen, was wir
eine Erklärung des Naturgeschehens nennen. Auf diesem Wege
können wir aber nicht den Ausgleich erklären, der in dem Gesetz
der großen Zahlen ausgedrückt sein soll.
Deshalb müssen wir uns damit begnügen, diesen Ausgleich,
indem wir seine Wirklichkeit von vornherein voraussetzen, in seinen
einzelnen Erscheinungsformen selbst zu verfolgen. Auf diese
Weise kann natürlich die Tatsache des Ausgleichs, weil wir sie
von Anfang an vorausgesetzt haben, nicht erst erklärt werden.
Wir können aber diese Tatsache uns sozusagen näher bringen,
indem wir solche Vorgänge herausgreifen, über deren inneren
Charakter wir glauben von vornherein Klarheit zu haben. Diese
Vorgänge sind die Glücksspiele, und unter den Glücksspielen
wählten wir noch insbesondere einen typischen Vorgang aus, der
Die genetische Theorie des Zufalls. 219
in den Ziehungen aus einer Urne besteht. Alle Ergebnisse, die
aus diesen typischen Vorgängen gewonnen werden und die sich
in der Ableitung gewisser Formeln für die bei häufiger Wiederholung
des Vorganges zu erwartenden statistischen Ergebnisse
vollenden, können auf andere Vorgänge, deren inneres Zustandekommen
unserer Beobachtung verschlossen ist, nur so angewendet
werden, daß wir die statistischen Ergebnisse vergleichen.
Das ist es, was wir als die statistische Methode bezeichnet haben.
Welches Recht haben wir nun, Ereignisse, deren Verteilung
mit der aus dem Urnenschema folgenden Verteilung eine gewisse
Übereinstimmung zeigt, auch innerlich als gleichartig anzusehen?
Dadurch, daß wir überhaupt über die innere Natur eines
Vorganges urteilen, gehen wir aus dem rein phänomenologischen
Gebiet in das ontologische Gebiet über. Die innere Natur eines
Vorganges, das eigentlicheWarum und Wieso liegt außerhalb des
Bereiches der bloßen Erfahrung. Was uns dazu hinführt, sind
im Grunde immer Analogieschlüsse. Auf das Bedenkliche solcher
Schlüsse braucht nicht besonders hingewiesen zu werden.
Die Analogie verführt uns nur zu leicht, aus einer gefundenen
Übereinstimmung in einzelnen Punkten eine Übereinstimmung
auch in anderen Punkten zu erschließen, ohne daß dieser Schluß
logisch zwingende Kraft hätte.
Trotzdem können wir ohne solche Analogieschlüsse nicht
auskommen. Sie sind es im wesentlichen, die uns die Dinge als
begreiflich erscheinen lassen. Das bloße Sammeln und Ordnen
von Erfahrungen würde uns unbefriedigt lassen. Wir würden
das innere Band vermissen. Dieses Band eben finden wir häufig
durch Analogieschlüsse. So beruht z. B. der Kraftbegriff, durch
den uns die physikalischen Vorgänge begreiflich erscheinen solZehntes
Kapitel. 220
len, auf einer Analogie mit physiologischen Vorgängen, nämlich
dem Gefühl der Anstrengung beim Heben einer Last, und daß
uns die Dinge auf diese Weise innerlich begreiflich erscheinen,
liegt daran, daß wir sie in Zusammenhang bringen mit persönlichen
Empfindungen. Wir bringen sie uns „menschlich nahe“.
Etwas Ähnliches können wir nun auch in der Analyse der
zufälligen Vorgänge finden. Auch hier ist es die persönliche Stimmung
dem ungewissen Ereignis gegenüber, die das Verfahren bestimmt
hat und aus der heraus man ein inneres Verstehen der
Vorgänge zu erreichen geglaubt hat. Hierhin gehört es, wenn
in der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung die gleich möglichen
Fälle dadurch definiert werden, daß wir keinen Grund haben,
das Eintreten des einen eher als das Eintreten des anderen
zu erwarten. Hierhin gehört es ferner, wenn angenommen wird,
daß ein Ereignis, dessen mathematische Wahrscheinlichkeit der
Einheit sehr nahe kommt, als gewiß angesehen werden kann, weil
wir in unserem Leben fortwährend gezwungen sind, wegen der
Unsicherheit aller unserer Lebensumstände als gewiß hinzunehmen,
was im Grunde nur sehr wahrscheinlich ist. Die Analogie
geht sogar tiefer, indem wir die Unentschiedenheit eines künftigen
Ereignisses mit der Unentschiedenheit eines Menschen vergleichen,
der zwischen zwei Möglichkeiten zu wählen hat. Wenn
wir von dem blinden Zufall sprechen, so beruht dies darauf, daß
die Entscheidung verglichen wird mit der Entscheidung eines
Menschen, der eine Möglichkeit ohne Überlegung ergreift. Diese
Eindeutung innerer Erlebnisse in die äußeren Vorgänge ist
dem menschlichen Geiste durchaus natürlich, sie ist aber auch
mit großen Gefahren verknüpft. Das tritt tatsächlich in der Geschichte
der Wahrscheinlichkeitsrechnung deutlich zutage. Bei
aller Großartigkeit der Entwickelung krankt z. B. das Werk von
Die genetische Theorie des Zufalls. 221
La p l a c e daran, daß der Bereich des Ungewissen ohne eine sichere
empirische Grundlage allein aus dem Denken heraus mit
Hilfe der mathematischen Rechnung einer bestimmten Analyse
unterworfen werden soll. Rein äußerlich gibt sich das darin
zu erkennen, daß zu viel mathematische Entwickelungen und zu
wenig statistisches Material gegeben wird. Die mathematische
Ableitung ist aber nur ein formales Hilfsmittel. Aus ihr allein
läßt sich keine reale Erkenntnis schöpfen, wenn sie nicht mit
wirklicher Beobachtung gepaart wird. Es werden daher bei La -
p l a c e eigentlich nur Methoden gegeben, ohne daß überhaupt
feststeht, wie weit diese Methoden sich auf Probleme der Wirklichkeit
überhaupt anwenden lassen. Wo solche Anwendungen
aufzutreten scheinen, beruhen sie nur auf unbestimmten Vermutungen
und unberechtigten Annahmen.
Qu é t e l e t gebührt das große Verdienst, mit der Anwendung
der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Wirklichkeit
Ernst gemacht zu haben 1). Aber auch er beging den Fehler,
daß er zu selbstverständlich die Übereinstimmung der Wirklichkeit
mit den aus dem einfachen Urnenschema folgenden
Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung voraussetzte und sie
häufig da zu sehen glaubte, wo sie tatsächlich nicht vorhanden
ist. Daher liegt ein ungeheurer Vorteil in dem Aufkommen der
eigentlich empirischen Methoden, die sich eine unbefangene und
sichere Feststellung der tatsächlichen Verhältnisse zur Aufgabe
machen und um deren Entwickelung sich in Deutschland
besonders W. Le x i s und G. Th. Fe ch n e r und in England
K. Pe a r s o n verdient gemacht haben. Hier wird in der Tat die
1) Vgl. insbesondere seine Lettres sur la théorie des probabilités appliquée
aux sciences morales et politiques (Bruxelles 1846).
Zehntes Kapitel. 222
mathematische Entwickelung nur ein Hilfsmittel, um das statistische
Material systematisch zu verarbeiten. Die Verarbeitung
besteht einerseits darin, daß die statistischen Ergebnisse über
solche Ereignisse, die in ihrer Verteilung eine gewisse Gemeinsamkeit
zeigen, vereinigt werden, und andererseits darin, daß
man in bestimmten Verteilungen eine einfache mathematisch
ausdrückbare Regelmäßigkeit nachzuweisen versucht.
Das Bezeichnende der Methode darf man vielleicht darin
sehen, daß gerade die Rücksichtnahme auf den ursächlichen Zusammenhang,
die sonst den Kern der Naturerklärung bildet,
vollständig in Wegfall kommt. Es ist wohl gut, nochmals hervorzuheben,
daß nach der in Rede stehenden Methode zwischen
den einzelnen Fällen keinerlei ursächlicher Zusammenhang, sondern
nur eine Gleichartigkeit der Bedingungen bei ihnen allen
angenommen wird. Die bei dem Urnenschema herauskommende
Verteilung wird ausdrücklich unter der Voraussetzung abgeleitet,
daß eine Ziehung mit der anderen außer allem kausalen Zusammenhang
steht, daß es für das Resultat einer Ziehung völlig
gleichgültig ist, welche Resultate die vorhergehenden Ziehungen
ergeben haben. Die Ziehung einer weißen Kugel bleibt in der
Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung gleich wahrscheinlich,
auch wenn schon zehn- oder zwanzigmal hintereinander eine weiße
Kugel gezogen worden ist.
Der Ausgleich zwischen den Resultaten der einzelnen Ziehungen
ist kein mechanischer, er beruht nicht auf einer Wirkung,
welche die Resultate der einen Ziehung auf das Resultat der anderen
ausüben. Er ist nur ein statistischer, d. h. wir haben uns
zu denken, daß er da zustande kommt, wo die Bedingungen des
Geschehens, soweit sie festliegen, unverändert bleiben. Wenn es
eine Ordnung des Geschehens in dem Sinne gibt, daß für das
Die genetische Theorie des Zufalls. 223
Resultat des einen Falles es nicht gleichgültig ist, welches die
Resultate der vorhergehenden Fälle waren, so bleibt diese Ordnung
hier unberücksichtigt, sei es nun, daß sie in einer gewissen
Neigung der gleichartigen Resultate, sich räumlich oder zeitlich
zusammenzuschließen oder in einer bestimmten prädestinierten
Verteilung der verschiedenen Resultate bestehen soll. Das ganze
Schwergewicht der Betrachtung ruht darauf, daß eine Erklärung
der stattfindenden Verteilung auch möglich ist, ohne einen inneren
Zusammenhang der Einzelergebnisse vorauszusetzen.
Wenn die Beiseiteschiebung des kausalen Zusammenhanges
das Bezeichnende an den angestellten Betrachtungen sein soll,
so scheint dieses Prinzip nur bei der genetischen Erklärung des
Zufalls durchbrochen zu sein. Es ist aber leicht zu erkennen,
daß auch hier nicht das Zufallsereignis aus einer großen Menge
voneinander unabhängiger Einzelursachen kausal erklärt werden
soll, sondern daß es vielmehr als zusammengesetzt erscheint aus
einer großen Menge voneinander unabhängiger Einzelmomente.
Das Wesentliche ist auch hier wieder gerade das Fehlen des
kausalen Zusammenhanges zwischen den einzelnen Bestandteilen
des Zufallsereignisses. Es bleibt also immer das Fehlen des
kausalen Zusammenhanges das Bezeichnende für die genetische
Erklärung der Zufallsereignisse, gleichgültig, ob wir dieses Fehlen
als ein absolutes oder als ein relatives, d. h. als das Fehlen
einer engeren kausalen Verknüpfung, ansehen wollen.
Aber die genetische Erklärung des einzelnen Zufallsereignisses
war nicht das, worauf die angestellten Betrachtungen hauptsächlich
abzielten. Im Gegenteil kann man ihr Wesen darin erblicken,
daß sie von der Betrachtung des Zufalls im einzelnen
Ereignisse ablenken, daß sie die Fragestellung vielmehr auf die
Gesamtheit der Erscheinungen hinwenden.
Zehntes Kapitel. 224
Auch von vornherein wird man zugeben, daß das einzelne
Zufallsereignis nicht das ist, was im Grunde unsere Teilnahme
erweckt, daß vielmehr die wirkliche Aufgabe in der Beantwortung
der Frage liegt, wie die Zufallsereignisse in ihrer Gesamtheit
auf das Getriebe der Welt einwirken. Die Antwort ist klipp und
klar die, daß das, was im einzelnen Ereignis als zufällig und unberechenbar
erscheint, in der Totalität der Erscheinungen durch
einen gewissen Ausgleich beseitigt wird. Allerdings eine Erklärung,
die im tieferen Sinne befriedigt, für diesen Ausgleich zu
finden, ist uns nicht gelungen. Unsere Betrachtung blieb auch
hier auf die Beobachtung des Tatsächlichen und die Feststellung
der darin liegenden Regelmäßigkeiten beschränkt, genau so wie
sie es da ist, wo die mit einer durchgängigen Kausalität des Naturgeschehens
in Zusammenhang stehenden „Naturgesetze“ den
Gegenstand der Untersuchung bilden.
Daß eine allgemeine genetische Erklärung des Zufalls nicht
geliefert ist, gibt sich auch darin zu erkennen, daß nach der statistischen
Theorie ein Ereignis als zufällig nur innerhalb einer
bestimmten Gesamtheit erscheint. So ergab sich die Verteilung
der Körpergröße unter den durch die Aushebungen in einem
großen Gebiete herausgegriffenen erwachsenen männlichen Individuen
als die typische Zufallsverteilung. Dabei können wir
die Körpergröße, die ein Mensch erreicht, doch nicht als rein
zufällig hinstellen. Im Gegenteil sind uns bestimmte Momente,
z. B. die Körpergröße der Eltern, bekannt, die einen Einfluß auf
das körperliche Wachstum ausüben. Diesen und ähnlichen Einflüssen
nachzugehen, war hier nicht unsere Aufgabe. Es scheint
aber nötig, zum Schluß auf ihr Bestehen noch nachdrücklich hinzuweisen,
damit nicht der Eindruck entsteht, als solle aus dem
Vergleich mit dem Schema der Glücksspiele, der uns für die maDie
genetische Theorie des Zufalls. 225
thematische Behandlung die Handhabe gegeben hat, eine innere
Gleichartigkeit gefolgert werden, als solle verkannt werden, wie
ungleich verwickelter in ihrer inneren Beschaffenheit die Vorgänge
in der menschlichen Gesellschaft sind, als die wenigstens beim
ersten Anblick sehr einfach scheinenden Vorgänge der Urnenziehungen.
Namenverzeichnis.
(Die Zahlen bedeuten die Seiten.)
Abbe, 120
d’Alembert, 67 f.
Aristoteles, 74
Bernoullische Theorem, 88
Bertillon, 190
Bessel, 19 f., 208 f.
Blaschke, 188
Borel, 88
Bortkewitsch (Bortkiewicz),
Lad. v., 69, 186, 198,
204 ff.
Boylesches (Mariottesches)
Gesetz, 42
Brömse, 69
Brownsche Bewegung, 197
Bruns, 87, 179
Cardano, 77
Carvallo, 88
Cournot, 5
Crofton, 210
Czuber, 198, 206
Davenport, 198, 202
Edgeworth, 198
Elster (Herausgeber), 205
Fechner, 204, 221
Fechnersches Lagengesetz, 109
Forcher, 189, 202
Fries, J. F., IV
Galilei, 77 f.
Galton, 202
Gauß, 125
Gaußsche Verteilungsfunktion,
147 u.o.
Goethe, 8
Goldschmidt, 71
Grimsehl, 69
Helmert, 120
Hume, 6
Huygens, 79
Iterson, 42
Kant, 4, 10
King, 198
Kozak, VII
Kries, Joh. v., 80
Namenverzeichnis. 227
Lange, Friedr. Albert, 63, 75,
81 f.
Laplace, 61 f., 73, 80, 221
Lexis, 53 f., 182 ff., 202, 206, 221
Lipps, G. F. (Herausgeber),
204, 205, 221
Lottermoser (Übersetzer), 197
Lourié, 82
Marbe, 69
Maxwell, 57
Mayr, v., 206
Mill, John Stuart, 1 f.
Pearson, 43, 195 ff., 221
Perrin, 197
Poisson, 60, 73, 150, 186, 197 f.
Quételet, 31, 200, 221
Rhumbler, 42
Sabudski-Eberhard, VI
Schnuse (Übersetzer), 61
Schopenhauer, 3
Siebeck, 8
Sigwart, 21, 63, 84 f.
Spinoza, 5, 8 f.
Sterzinger, 70
Stirlingsche Formel, 148
Stumpf, 84
Trendelenburg, 75
Ueberweg, 74
Valla, Laurentius, 76
Venn, 200
Wagner, Ad., 51
Weldon, 202
Westergaard, 198
Windelband, 51, 59
Wolf, R., 90
Wundt, Wilh., 18 f., 62


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